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I nomi degli italiani sono belli

Inviato: 13 nov 2016, 16:17
da cip999
Ana ha trovato un intero $k \ge 2$!* Decide quindi di sfidare l'amico (amica?) Banana al gioco dei numeri: all'inizio scrivono sulla lavagna un intero $n \ge k$; poi, iniziando da Ana, muovono a turno. Una mossa consiste nel cancellare il numero $m$ scritto sulla lavagna e scrivere al suo posto un intero $m'$ tale che:
    (i) $k \le m' < m$
   (ii) $(m, \: m') = 1$.
Perde chi non può più muovere.
Diciamo che un intero $n \ge k$ è anico se Ana ha una strategia vincente quando il numero iniziale è $n$, bananico altrimenti.
Si considerino due interi $n_1, \: n_2 \ge k$ con la proprietà che ogni primo $p \le k$ divide $n_1$ se e solo se divide $n_2$. Si mostri che $n_1$ e $n_2$ sono o entrambi anici o entrambi bananici.

* Interpretate il punto esclamativo a piacere.

Re: I nomi degli italiani sono belli

Inviato: 13 nov 2016, 17:46
da Sirio
Secondo me è troppo semplice per essere vera e soprattutto manca un pezzo:
Testo nascosto:
Se un numero è anico allora tutti i numeri minori di quel numero e coprimi con esso sono bananici e viceversa. Questo perché se un numero $a$ è anico, allora qualunque siano i numeri $b$ e $c$ che vengono scritti dopo $a$ in quest'ordine nelle prime due mosse Ana vince. Se quindi si cominciasse con $b$ allora il giocatore che non scrive $c$, e cioè Banana, vince.
Poniamo wlog $n_1 \le n_2$. Tutti i numeri minori di $n_1$ e coprimi con esso sono anche minori di $n_2$ e coprimi con esso.
Da qui in poi do per scontato che $n_1$ ed $n_2$ devono per forza essere o bananici o anici, quindi che uno dei giocatori abbia sempre una strategia vincente (ma è tutto da dimostrare :oops: ).
In particolare, se $n_1$ è anico allora tutti i numeri minori di $n_1$ e coprimi con esso sono bananici e quindi è assurdo che $n_2$ sia bananico. Analogamente con $n_1$ bananico.
cip999 ha scritto:bananico altrimenti
Io ho dato per scontato che con "altrimenti" intendessi "se Banana ha una strategia vincente".

Re: I nomi degli italiani sono belli

Inviato: 13 nov 2016, 18:49
da Gerald Lambeau
Sirio ha scritto:Se un numero è anico allora tutti i numeri minori di quel numero e coprimi con esso sono bananici e viceversa.
Mi sa che questa frase non è vera: supponiamo di iniziare con $a$, numero anico, e $b$ e $c$ sono due numeri a caso minori di e coprimi con $a$ e maggiori di o uguali a $k$; supponiamo anche che, secondo la strategia di Ana, bisogna scegliere proprio $b$ per essere certi di vincere: quindi se si iniziava con $b$ avremmo perso, quindi $b$ è bananico. Ma come fai a dire lo stesso di $c$? Magari la strategia di Ana le dice di non sceglierlo proprio perché è anico e quindi porterebbe alla vittoria chi se lo trova davanti!

Re: I nomi degli italiani sono belli

Inviato: 13 nov 2016, 18:57
da Sirio
Gerald Lambeau ha scritto:
Sirio ha scritto:Se un numero è anico allora tutti i numeri minori di quel numero e coprimi con esso sono bananici e viceversa.
Mi sa che questa frase non è vera: supponiamo di iniziare con $a$, numero anico, e $b$ e $c$ sono due numeri a caso minori di e coprimi con $a$ e maggiori di o uguali a $k$; supponiamo anche che, secondo la strategia di Ana, bisogna scegliere proprio $b$ per essere certi di vincere: quindi se si iniziava con $b$ avremmo perso, quindi $b$ è bananico. Ma come fai a dire lo stesso di $c$? Magari la strategia di Ana le dice di non sceglierlo proprio perché è anico e quindi porterebbe alla vittoria chi se lo trova davanti!
Hai ragione, vedrò di risolvere :oops: .

Re: I nomi degli italiani sono belli

Inviato: 14 nov 2016, 00:02
da cip999
Come ha detto Gerald, la tua dimostrazione falla in partenza... A parte questo, il fatto che un numero sia sempre o anico o bananico è vero, ma è anche ovvio. Non è invece vero che "Tutti i numeri minori di $n_1$ e coprimi con esso sono anche minori di $n_2$ e coprimi con esso" (es: $k = 2$, $n_1 = 4$, $n_2 = 6$).

Re: I nomi degli italiani sono belli

Inviato: 14 nov 2016, 03:15
da scambret
Wow che bel problema! Me è piaciuto!

Re: I nomi degli italiani sono belli

Inviato: 15 nov 2016, 23:51
da Talete
Il titolo di questo topic mi ha ricordato "I vitelli dei romani sono belli"

Ma boh, deformazione da classicista probabilmente :D

Re: I nomi degli italiani sono belli

Inviato: 17 dic 2017, 22:50
da Salvador
Talete ha scritto:
15 nov 2016, 23:51
Il titolo di questo topic mi ha ricordato "I vitelli dei romani sono belli"

Ma boh, deformazione da classicista probabilmente :D
Ma anche a me :lol: