Ciao a tutti,
volevo chiedere un chiarimento sulla soluzione del primo di Cesenatico 2014.
Nota: la domanda in sè non è lunga, ho solo riscritto il problema e la soluzione, per questo sembra infinita (se volete saltare andate all'equazione[1]). Scusate
Brevemente il testo del problema:
Si ha un numero di tre cifre n e il numero n0 ricavato togliendo le cifre 0 da n (vale a dire se n=205 n0=25, se n = 317 n0 =317)
Si deve dire quanti n0 dividono il rispettivo n (ovviamente n0 dev’essere diverso da n, vale a dire n deve contenere ALMENO UNO zero e la prima cifra di n non è zero)
Ora i casi in cui la terza cifra è zero sono abbastanza banali (90 casi).
I casi in cui SOLO la seconda cifra è zero, sia sulla soluzione (non so se sia quella ufficiale, è quella che ho trovato sul libretto della raccolta delle gare) che su https://www.youtube.com/watch?v=CiZ_jlk_o7A (circa all'inizio) vengono risolti similmente.
Cioè dette a b c le cifre del numero (b=0) si impone che n0 divida n
10*a + c | 100*a + c ----- > k*(10a + c) = 100a + c --- >(svolgendo e raccogliendo)---- > 10*a*(10-k) = c*(k-1) con 1<k<10, 1<=a,c<=9 [1]
Ora entrambe le soluzioni prevedono di osservare il fatto che 10 divide c*(k-1) e dunque (è proprio da qui in poi che io lo trovo fumoso) che
- 2|c , 2|(k-1)
- 5|c , 5|(k-1)
Ho messo le virgole proprio perché non è ben chiaro se siano delle E o delle O. In entrambe le soluzioni che ho trovato ci si limita ad analizzare il secondo caso in elenco, cioè che, alternativamente, c=5 oppure k=6. E si sostituiscono poi i valori nella [1] e si risolve trovando a, c, k e quindi n0.
Ora però io volevo chiedere un paio di cose:
1) Perché, una volta scelto che per esempio, 5|c, allora non bisogna imporre che 2|(k-1)? Più che altro, perché si può passare direttamente alla sostituzione nella [1] stando sicuri che poi 2|(k-1)? (Probabilmente è una domanda un po’ idiota, visto che le condizioni di divisibilità si ricavano dalla [1] e quindi questa garantisce che siano vere)
2) E soprattutto, perché poi si può analizzare solo i “secondi due casi”, cioè quelli della divisibilità per 5 e si è sicuri di aver considerato tutti i casi? Non bisognerebbe prendere in considerazione anche quelli sulla divisibilità per due? (Ok, non forniranno soluzioni valide ma perché vengono “scartate”?)
Primo problema nazionali 2014 (chiarimento)
Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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