Primo problema nazionali 2014 (chiarimento)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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emapalla
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Iscritto il: 30 ago 2016, 10:53

Primo problema nazionali 2014 (chiarimento)

Messaggio da emapalla »

Ciao a tutti,
volevo chiedere un chiarimento sulla soluzione del primo di Cesenatico 2014.
Nota: la domanda in sè non è lunga, ho solo riscritto il problema e la soluzione, per questo sembra infinita (se volete saltare andate all'equazione[1]). Scusate :? :?


Brevemente il testo del problema:
Si ha un numero di tre cifre n e il numero n0 ricavato togliendo le cifre 0 da n (vale a dire se n=205 n0=25, se n = 317 n0 =317)
Si deve dire quanti n0 dividono il rispettivo n (ovviamente n0 dev’essere diverso da n, vale a dire n deve contenere ALMENO UNO zero e la prima cifra di n non è zero)
Ora i casi in cui la terza cifra è zero sono abbastanza banali (90 casi).
I casi in cui SOLO la seconda cifra è zero, sia sulla soluzione (non so se sia quella ufficiale, è quella che ho trovato sul libretto della raccolta delle gare) che su https://www.youtube.com/watch?v=CiZ_jlk_o7A (circa all'inizio) vengono risolti similmente.
Cioè dette a b c le cifre del numero (b=0) si impone che n0 divida n
10*a + c | 100*a + c ----- > k*(10a + c) = 100a + c --- >(svolgendo e raccogliendo)---- > 10*a*(10-k) = c*(k-1) con 1<k<10, 1<=a,c<=9 [1]


Ora entrambe le soluzioni prevedono di osservare il fatto che 10 divide c*(k-1) e dunque (è proprio da qui in poi che io lo trovo fumoso) che
- 2|c , 2|(k-1)
- 5|c , 5|(k-1)
Ho messo le virgole proprio perché non è ben chiaro se siano delle E o delle O. In entrambe le soluzioni che ho trovato ci si limita ad analizzare il secondo caso in elenco, cioè che, alternativamente, c=5 oppure k=6. E si sostituiscono poi i valori nella [1] e si risolve trovando a, c, k e quindi n0.
Ora però io volevo chiedere un paio di cose:
1) Perché, una volta scelto che per esempio, 5|c, allora non bisogna imporre che 2|(k-1)? Più che altro, perché si può passare direttamente alla sostituzione nella [1] stando sicuri che poi 2|(k-1)? (Probabilmente è una domanda un po’ idiota, visto che le condizioni di divisibilità si ricavano dalla [1] e quindi questa garantisce che siano vere)
2) E soprattutto, perché poi si può analizzare solo i “secondi due casi”, cioè quelli della divisibilità per 5 e si è sicuri di aver considerato tutti i casi? Non bisognerebbe prendere in considerazione anche quelli sulla divisibilità per due? (Ok, non forniranno soluzioni valide ma perché vengono “scartate”?)
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