Lemmino sui RQ

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Rho33
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Lemmino sui RQ

Messaggio da Rho33 » 05 ago 2016, 13:40

Ieri mattina riflettevo su una cosa abbastanza a caso: quanti sono gli interi $k \in [0,p-1]$ tali che sia $k,k+1$ sono entrambi residui quadratici? Ovvero, quante sono le coppie distinte non ordinate di residui quadratici consecutivi modulo $p$ ?

Bhe, dimostrare, o che ho cannato clamorosamente, oppure che quel conteggio restituisce:
Testo nascosto:
$\left \lceil \frac {p}{4} \right \rceil $

matpro98
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Re: Lemmino sui RQ

Messaggio da matpro98 » 05 ago 2016, 15:20

Per $p=5$ si hanno i residui $0,1,4$. Conti come consecutivi anche $4,0$?

Rho33
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Re: Lemmino sui RQ

Messaggio da Rho33 » 05 ago 2016, 15:47

Sì, anche quelli sono consecutivi! Avevo inserito la parte intera superiore per evitare confusione, la aggiusto distinguendo in casi (in questo modo però c'è un mini-mini-spoiler sulla soluzione):
Testo nascosto:
Se $p \equiv 1 \pmod 4$ allora il conteggio dà $\dfrac {p+3}{4}$ , mentre se $p \equiv 3 \pmod 4$ il conteggio dà $\dfrac {p+1}{4}$. Con $p=5$ quadra perché $5 \equiv 1 \pmod 4$ , quindi ci sono $2$ coppie, che sono quelle che hai trovato tu.

Rho33
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Re: Lemmino sui RQ

Messaggio da Rho33 » 05 ago 2016, 17:25

Mini-rilancio: mi sono accorto che con il mio ragionamento è possibile trovare anche il numero di coppie di non residui quadratici consecutivi, ed il numero di coppie ordinate di (residuo,non residuo)!

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Troleito br00tal
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Re: Lemmino sui RQ

Messaggio da Troleito br00tal » 05 ago 2016, 18:34

Aggiungo un mini-rilancio anch'io: usando il Lemma di Rho33, determinare quando 2 è residuo quadratico modulo p!

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