Somme due a due irrazionali

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Somme due a due irrazionali

Messaggio da jordan » 02 ago 2016, 23:42

Siano dati sei reali irrazionali. Mostrare che se ne possono scegliere tre tali che tutte le somme a due a due sono irrazionali.
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RiccardoKelso

Re: Somme due a due irrazionali

Messaggio da RiccardoKelso » 03 ago 2016, 11:28

Faccio un tentativo strano, pregherei di essere spietati nel caso commentiate, grazie.
Testo nascosto:
Siano $a,b,c,d,e,f \in \mathbb{I}$. Per prima cosa notiamo che se $a+b=q_1\in \mathbb{Q} \wedge a+c=q_2\in \mathbb{Q}$ allora $b+c=q_1+q_2-2a\in \mathbb{I}$. Diciamo che due numeri sono collegati se sommati danno luogo a un numero irrazionale; per sopra, se due numeri non sono collegati con un certo terzo allora lo sono tra di loro. Abbiamo quindi un grafo con 6 nodi (è davvero la prima volta in vita mia che provo a usare questo strumento, spero abbia senso ciò che scrivo) e con la condizione precedente. Prendiamo ora il nodo $a$; se esso fosse collegato con un numero di nodi $\leq 2$ allora i rimanenti, in numero $\geq 3$, sarebbero tutti collegati fra di loro da cui la tesi. Se invece esso fosse collegato con un numero di nodi $\geq 4$ allora prendendo in considerazione uno di quelli con cui è collegato si nota che per far sì che esso sia collegato con almeno 3 nodi (per evitare di ricadere nella tesi) bisogna che sia collegato con uno collegato anche con $a$, chiudendo quindi un ciclo da 3, da cui la tesi. Per ultimo, supponiamo allora che ogni nodo abbia esattamente 3 collegamenti, senza che si formino cicli da 3. Questa configurazione è unica (scegliendo casualmente i primi due collegamenti si procede poi per passaggi obbligati) e non soddisfa la nostra condizione, quindi è impossibile.

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jordan
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Re: Somme due a due irrazionali

Messaggio da jordan » 03 ago 2016, 21:03

Mi pare che fila tutto, molto bene :wink:

In breve, un grafo completo a 6 vertici con i collegamenti di 2 possibili colori deve contenere un triangolo monocromatico. E per quello che hai scritto alla prima riga il colore di questo triangolo deve essere quello di "collegato"
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