$d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$

Messaggio da jordan » 28 lug 2016, 20:27

Dimostrare che esiste un insieme $X$ di interi positivi con densità superiore asintotica $1$ e densità inferiore asintotica $0$.

In altre parole, costruire un insieme $X$ tale che, per ogni scelta di $\varepsilon \in (0,1)$, esistono infiniti interi positivi $n$ ed $m$ tali che
$$
\frac{|X\cap [1,n]|}{n}<\varepsilon \,\,\,\text{ e }\,\,\,\frac{|X \cap [1,m]|}{m}>1-\varepsilon.
$$
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RiccardoKelso

Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$

Messaggio da RiccardoKelso » 28 lug 2016, 22:33

Essendo $\frac{1}{n}$ piccolo a piacere per $n$ abbastanza grande, dovrebbe andare bene questo
$X=\{x\in \mathbb{N} |max _{a \in \mathbb{A} _x} a \equiv 0 \space (mod\space 2) \wedge \min _{ b \in \mathbb{B} _x} b \equiv 1 \space (mod\space 2) \}$
Dove $\mathbb{A} _x=\{n \in \mathbb{N}|n!\leq x\}$ e $\mathbb{B} _x=\{n \in \mathbb{N}|n!\geq x\}$
L'idea è che, lungo i naturali, si prendono progressivamente fette che rendono trascurabile tutto ciò che viene fatto in precedenza, quindi grazie all'alternanza pari/dispari otteniamo un alternanza quasivuoto/quasipieno

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jordan
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Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$

Messaggio da jordan » 29 lug 2016, 09:35

[Edit: Avevo letto male, è tutto ok]
Ultima modifica di jordan il 30 lug 2016, 15:05, modificato 1 volta in totale.
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MATHia
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Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$

Messaggio da MATHia » 29 lug 2016, 16:14

Premetto che non ho capito come poi si concluda in modo formale, comunque credo che questa frase
jordan ha scritto:se $x\in X$ allora il piu' piccolo fattoriale $\ge x$ è dispari
dovrebbe essere "se $x\in X$ allora il piu' piccolo fattoriale $\ge x$ è il fattoriale di un numero dispari". Di fatto, se non erro, l'insieme $X$ che si trova in questo modo è
\[
X=[2!,3!]\cup [4!,5!]\cup [6!,7!]\cup\ldots
\]

Rho33
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Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$

Messaggio da Rho33 » 29 lug 2016, 17:44

Mah, io avevo pensato a costruirlo in modo molto rozzo (e informale, purtroppo) :oops: Sostanzialmente si tratta di costruire un insieme con buchi arbitrariamente grandi e piccoli sui naturali. Fissiamo un primo $p$ (ma si fa con qualsiasi altro numero) e costruiamo in questo modo:

1) $1$ lo metto nell'insieme, così ho densità $1$ in $[1,1]$.

2) Salto tutti i numeri fino a $p$, così ho densità $\dfrac {1}{p}$ in $[1,p]$.

Ora per ogni $n$ basta alternare le due regole seguenti:

3) Aggiungo tanti numeri fino ad avere densità $\geq 1- \dfrac {1}{p^n}$

4) Salto tanti numeri fino ad avere densità $\leq \dfrac {1}{p^n}$

In questo modo, al crescere di $n$, ottengo che la densità è arbitrariamente vicina ad $1$ con la mossa $3$ ed è arbitrariamente vicina a $0$ con la mossa $4$. Questo metodo funziona oppure è come barare?

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jordan
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Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$

Messaggio da jordan » 29 lug 2016, 18:12

@Mathiae RiccardoKelso: si l'insieme $\bigcup_{n\ge 1}[(2n)!,(2n+1)!]$ funziona. Ora, chi fa vedere a mano che effettivamente esistono gli $n$ ed $m$?

@Rho33: si l'idea è corretta, e non è barare, ammesso di sapere cos'è un limite :wink:
Ultima modifica di jordan il 30 lug 2016, 15:06, modificato 1 volta in totale.
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MATHia
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Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$

Messaggio da MATHia » 29 lug 2016, 18:25

jordan ha scritto:@Mathia: si l'insieme funziona, credo anche RiccardoKelso intendesse questa.
Certo certo, stavo solo cercando di interpretare ciò che aveva scritto :D

RiccardoKelso

Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$

Messaggio da RiccardoKelso » 29 lug 2016, 22:25

jordan ha scritto:@Mathia: si l'insieme funziona, credo anche RiccardoKelso intendesse questa: $\bigcup_{n\ge 1}[(2n)!,(2n+1)!]$
Mi fa piacere che l'insieme funzioni, comunque hai ottime ragioni per credere che anche io intendessi quello.. L'ho scritto :roll:

MATHia
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Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$

Messaggio da MATHia » 29 lug 2016, 23:18

Sì, era quello che intendevo anch'io :)

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