$\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da jordan » 15 lug 2016, 23:12

Sia $\mu$ la funzione di Moebius, cioè la funzione fa che $(-1)^k$ agli interi positivi liberi da quadrati della forma $p_1\cdots p_k$, e $0$ agli altri ($\ge 2$).

(a) E' vero che esistono infiniti $n$ tali che $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=\mu(n+3)$?

(b) E' vero che esistono infiniti $n$ tali che $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=\mu(n+3)=1$?

(c) E' vero che esistono infiniti $n$ tali che $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$?

Edit: Per il punto (c) date per buona la seguente congettura qui (che in realtà è ancora aperta, vedi commento di darkcrystal sotto)
Ultima modifica di jordan il 18 lug 2016, 13:24, modificato 3 volte in totale.
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darkcrystal
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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da darkcrystal » 18 lug 2016, 08:59

Paolo, scusami, ma tu hai una soluzione per (c) - eventualmente anche usando Dirichlet? Non sono un superesperto di queste cose, ma credevo che fosse un problema aperto! E per quanta fiducia io riponga negli utenti dell'Oliforum, forse una congettura aperta è po' eccessiva anche per loro...

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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da jordan » 18 lug 2016, 13:22

Eh, ops :/ In effetti, si deve utilizzare una versione piu' forte del teorema di Dirichlet, che, hai ragione, è ancora aperta: congettura di Dickson..

ps. Grazie mille Davide! :)
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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da Rho33 » 25 lug 2016, 03:44

a)
Testo nascosto:
Sì, è vero! Quando abbiamo a che fare con l'infinità, le due cose più gettonate sono Dirichlet e CRT, quindi ovviamente usiamo CRT!

Fissato $n$ , presi $4$ primi distinti $p_1,p_2, p_3,p_4 <n$ posso costruire il sistema:

$$\begin{cases}n+0 \equiv 0 \pmod {p_1^2}\\ n+1 \equiv 0 \pmod{p_2^2} \\ n+2 \equiv 0 \pmod{p_3^2} \\ n+3 \equiv 0 \pmod {p_4^2} \end{cases}$$

Il sistema ha ovviamente soluzione modulo $(p_1p_2p_3p_4)^2$ (quindi sono infinite!)
b)
Testo nascosto:
No, ovviamente! Tra $n,n+1,n+2,n+3$ vi è sicuramente un multiplo di $4$ la cui $\mu$ è $0$.
c) Ancora devo pensarci perché non ho avuto tempo di leggere l'articolo. Comunque:
Testo nascosto:
è chiaro che per il motivo di prima, $n,n+1,n+2$ sono $\equiv 1,2,3 \pmod 4$

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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da Rho33 » 25 lug 2016, 18:53

Non avevo letto l'articolo di Wiki e non avevo compreso la potenza di questa congettura :o :o

La parte c) è ovviamente uccisa all'istante:
Testo nascosto:
Per Dickson abbiamo che vi sono infiniti $a$ tali che : $$870a+1, \ \ 899a+1, \ \ 930a+1$$ sono tutti primi.

Ma allora considerando i tre interi consecutivi $\equiv 1,2,3 \pmod 4$ rispettivamente:

$$26970a+29, \ \ 26970a+30, \ \ 26970a+31 \iff 29 \cdot (930a+1), \ \ 30 \cdot (899a+1), \ \ 31\cdot (870a+1)$$

Abbiamo che:

$$\mu ( 29 \cdot (930a+1))=1, \ \ \mu ( 30 \cdot (899a+1))=1, \ \ \mu (31\cdot (870a+1))=1$$

Ovviamente bastava trovare due primi gemelli che hanno tra loro un intero prodotto di un numero dispari di primi, in modo che la $\mu$ faccia $1$.

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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da jordan » 26 lug 2016, 10:28

Mi pare tutto corretto, apparte l'ultima frase: $\mu(p)=-1$ per ogni primo $p$ :wink:
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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da Rho33 » 26 lug 2016, 16:14

Oops, sì, l'ho scritta a caso quella frase. Intendevo: $30$ è prodotto di un numero dispari di primi (per la precisione di $3$, ovvero $2,3,5$ ) quindi $\mu (30)=-1$, ma dato che $\mu (p)=-1$ (poiché vi è un numero dispari di primi, cioè $1$), allora $\mu (30 \cdot p)=1$

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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da Rho33 » 26 lug 2016, 18:59

Poco fa ho pensato a questo mini-corollario (è per caso anche questo un problema aperto?), ma sembra molto molto difficile da dimostrare(senza la congettura di Dickson ovviamente) :oops:

Qualcuno può confermare ed in caso tarare il livello di difficoltà? (in modo da non spenderci i giorni a vuoto :oops: )

Dimostrare che esistono infiniti $n$, tali che $n,n+1,n+2$ sono tutti square-free (quindi anche i primi da soli vanno bene). Scritto usando la $\mu$ sarebbe:

Dimostrare che esistono infiniti $n$ tali che:

$$\mu (n)=\mu (n+1)= \mu (n+2)= \pm 1$$

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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da Lasker » 26 lug 2016, 20:40

@Rho33: Sì, è vero (e pure abbastanza facile da mostrare se usi un fatto noto da senior medium che sicuramente conosci).
Ti metto sotto spoiler l'idea
Testo nascosto:
La densità asintotica degli squarefree è $\frac{6}{\pi^2}$, ovvero tanto... è l'unico fatto che conosco sugli squarefree in pratica, quindi probabilmente era più spoiler la frase tra parentesi di questa :mrgreen:
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da Rho33 » 27 lug 2016, 01:27

Aaaallora, in realtà non conoscevo né la definizione di densità asintotica, nè quel risultato (o meglio, forse avevo letto qualcosa da qualche parte in qualche momento lontano, ma non ci avevo fatto caso e quindi avevo rimosso completamente :oops: ). Chiaramente con quel risultato il problema muore (ci ho pensato meno di 10 secondi e già era risolto :lol: ), come leggerete tra poco.

MA, mi sembra di barare in modo più che spudorato usandolo, quindi chiederei una via alternativa, che non ne faccia uso (altrimenti che gusto c'è). Inoltre, oltre a Wikipedia, qualcuno mi consiglierebbe qualcosa (libro, video, dispensa o quant'altro) da cui studiare questo argomento? (scommetto ci sono tante altre densità asintotiche che possono tornare utili, specialmente in problemi di teoria dei numeri analitica, in cui si deve stimare, sbaglio?)

Veniamo al dunque.

Consideriamo l'insieme dei naturali $\mathbb{N}$ ed un suo qualsiasi sottoinsieme $\mathcal{A}$, quindi $\mathcal{A} \subseteq \mathbb{N}$.
Si definisca inoltre $\mathcal{A}(n)= \{1,2, \dots , n \} \cap \mathcal{A}$ e si indichi con $\mid \mathcal{A}(n) \mid$ la sua cardinalità.

Si definisce densità asintotica di $\mathcal{A}$ e si indica con $d(\mathcal{A})$ la seguente:

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac { \mid \mathcal{A}(n) \mid}{n}$$
se tale limite esiste, ovviamente.

Veniamo ora al problema: supponiamo per assurdo che la tesi sia falsa. Dato che per il discorso precedente, $n,n+1,n+2 \equiv 1,2,3 \pmod 4$ rimpiazziamoli con $4h+1,4h+2,4h+3$. Ciò significa che tra $4h,4h+1,4h+2,4h+3$ vi sono almeno due interi non square-free (4h lo è sicuramente!).

Ma allora si ha che, detto $\mathcal{S}$ l'insieme degli square-free:

$$d(\mathcal{S})\leq \dfrac {1}{2}$$

Ma ciò è assurdo, poiché:

$$d(\mathcal{S})= \dfrac {6}{\pi^2}> \dfrac {1}{2}$$

Fine (R.I.P. povero problema). :mrgreen:

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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da jordan » 28 lug 2016, 13:27

Come avevi notato prima, $d(\mathcal{S})$ puo' non esistere. Puoi invece concludere che la densità superiore asintotica
$$
d^\star(\mathcal{S})=\limsup_{n\to \infty}\frac{|\mathcal{S}\cap [1,n]|}{n} \le \frac{1}{2}.
$$
Nota che è ben possibile che se un insieme $X$ ha densità superiore asintotica positiva, allora ogni sottoinsieme $Y\subseteq X$ puo' non ammettere densità asintotica positiva. [Volendo, puoi costruirti un esempio esplicito: vedi qui.]

Riguardo la definizione di "densità", invece, non ne esiste una "standard", ed ci sono effettivamente parecchie "densità" utili in diverso modo, non solo in teoria dei numeri. Se hai tempo da perdere, puoi dare un'occhiata qui :wink:
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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da Rho33 » 30 lug 2016, 03:12

Uhm, anche se ho già risposto nell'altro topic, mi ero dimenticato di ringraziare per il tuo articolo, sembra davvero ben fatto (anche se ovviamente dovrò leggere ogni pagina almeno 10 volte per capirla a fondo :oops: ).

Un ulteriore dubbio: sapresti dirmi se ci sono densità asintotiche di insiemi particolari che possono tornare utili?

E.g. Quella degli square-free, quella dei primi (che se non sbaglio è zero), quella dei pari/dispari (che è $\frac {1}{2}$), qualcun'altra meno nota e magari utile (la cui dimostrazione sia accessibile ad un ragazzo del liceo? ma forse chiedo troppo :lol: )?

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Re: $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$

Messaggio da jordan » 30 lug 2016, 14:54

Probabilmente i seguenti:
1. L'insieme delle tutte le potenze di primi ha densità (asintotica) 0;
2. L'insieme delle potenze (con esponente $\ge 2$) ha densità (asintotica) 0;
3. L'insieme di tutti gli interi esprimibili come somma di due quadrati ha densità (asintotica) 0.

Vedi anche qui. [In realtà i tre insiemi sopra ammettono densità superiore $0$, comunque sia scelta una funzione "densità" superiore (anche non necessariamente monotona) $f: \mathcal{P}(N) \to [0,1]$ tale che: (i) $f(\mathbf{N})=1$, (ii) $f(X\cup Y) \le f(X)+f(Y)$, e (iii) $f(k\cdot X+h)=f(X)/k$ per ogni intero $k\ge 1$ e $h\ge 0$.]
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