Sempre quadrato?

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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matpro98
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Sempre quadrato?

Messaggio da matpro98 » 26 giu 2016, 17:06

Non l'ho completamente risolto e vorrei un po' di aiuto.
Dimostrare che per ogni quaterna $(x_0,x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{Z}^4$ soluzione dell'equazione $x_0x_2^4+x_1x_3^4=x_0^2x_1^3+x_0^3x_1^2$ il numero $|x_0x_1|$ è sempre un quadrato perfetto.

MATHia
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Re: Sempre quadrato?

Messaggio da MATHia » 28 lug 2016, 19:04

Allora, non sono sicuro che come hint sia molto buono, comunque:
Testo nascosto:
Per assurdo, prendiamo un primo $p$ tale che $v_p(x_0x_1)$ sia dispari. Allora vediamo come sono le valutazioni $p$-adiche dei tre pezzi che si ottengono fattorizzando l'RHS.
Soluzione:
Testo nascosto:
Per comodità pongo $a:=x_0$, $b:=x_1$, $c:=x_2$ e $d:=x_3$. Riscrivo l'equazione come
\[
ac^4+bd^4=a^2b^2(a+b)
\]
Supponiamo per assurdo che $\mid ab\mid$ non sia un quadrato perfetto. Allora esiste un primo $p$ tale che $v_p(ab)$ è dispari. In particolare, varrà $v_p(a)=x$ e $v_p(b)=y$, con $x$ e $y$ aventi parità diversa e wlog $x>y$. Si noti che $v_p(a+b)=y$, in quanto $p^{y+1}$ divide $a$ ma non $b$. Allora
\[
v_p(RHS)=v_p(a^2b^2)+v_p(a+b)=2(x+y)+y=2x+3y
\]
Si noti che $p^x\mid RHS\implies p^x\mid ac^4+bd^4\iff p^x\mid bd^4 \iff p^{x-y}\mid d^4$. Visto che $x-y\ge 1$, allora $p\mid d$. Sia $k\in\mathbb{Z}_+$ tale che $v_p(d)=k\iff v_p(d^4)=4k$. Allora
\[
v_p(bd^4)=4k+y
\]
In particolare, visto che $p^x\mid bd^4$, allora $4k+y\ge x$. Visto che $x$ e $y$ hanno parità diversa, allora $4k+y\ge x+1$. Valutando l'equazione iniziale modulo $p^{x+1}$, si ricava $p^{x+1}\mid ac^4 \iff p\mid c^4 \implies p\mid c$. Sia allora $q\in\mathbb{Z}_+$ tale che $v_p(c)=q\iff v_p(c^4)=4q$. Dunque
\[
v_p(ac^4)=4q+x
\]
Vale $4q+x\ne 4k+y$, in quanto $x$ e $y$ hanno parità diversa. Supponiamo per assurdo che sia $2x+3y=4q+x \iff x+y=4q-2y$. Ciò è assurdo, perché $x$ e $y$ hanno parità diversa. Supponiamo ancora per assurdo che valga $2x+3y=4k+y\implies x+y=2k$. Ciò è assurdo per lo stesso motivo di prima. Allora $2x+3y$, $4q+x$ e $4k+y$ sono distinti. Posso scegliere allora tre interi $A$, $B$, $C\in\{ 2x+3y, 4q+x , 4k+y\}$ in modo che $A<B<C$. Ora se valuto l'equazione iniziale modulo $p^B$, ci sono due termini che sono congrui a zero e il terzo che invece non lo è, il che è assurdo. Allora l'ipotesi iniziale è assurda, cioè non esiste alcun primo $p$ tale che $v_p(ab)$ sia dispari, per cui $\mid ab\mid$ è quadrato perfetto.

matpro98
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Re: Sempre quadrato?

Messaggio da matpro98 » 28 lug 2016, 19:10

Grazie!

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