Sistema con un primo e due quadrati

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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alegh
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Sistema con un primo e due quadrati

Messaggio da alegh » 19 giu 2016, 23:22

Determinare tutti i numeri primi $p$ per cui il seguente sistema
\[
\begin{cases}
p+1=2x^{2}\\
p^{2}+1=2y^{2}
\end{cases}
\]
ammette soluzioni intere $x$ e $y$.

Fonte: TF senior 2015

Propongo un inizio di soluzione che però non riesco a portare avanti. Qualsiasi aiuto è graditissimo. Grazie.
Testo nascosto:
Considero l'equazione
\[
p^{2}+1=2y^{2}
\]
Sostituisco $p$ con un generico intero $k$.
L'equazione
\[
k^{2}-2y^{2}=-1
\]
è un'equazione di tipo Pell la cui soluzione più piccola è $k+\sqrt{2}y=1+\sqrt{2}$
Risolvo l'equazione Pell
\[
k^{2}-2y^{2}=1
\]
la soluzione fondamentale è $k+\sqrt{2}y=3+2\sqrt{2}$.
Tutte le soluzioni dell'equazione di tipo Pell sono
\[
k+\sqrt{2}y=\pm(1+\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^{l}
\]
Inoltre $(1+\sqrt{2})^{2}=(3+2\sqrt{2})$.
Quindi
\[
k+\sqrt{2}y=\pm(1+\sqrt{2})^{2l+1}
\]
In particolare $p$ dovrà essere della forma (considero solo il caso in cui $p>0$)
\[
p=\dfrac{(1+\sqrt{2})^{2l+1}+(1-\sqrt{2})^{2l+1}}{2}=\sum_{i pari}\binom{2l+1}{i}(\sqrt{2})^{i}=\sum_{i pari}\binom{2l+1}{i}2^{\frac{i}{2}}
\]
Ora credo che se riuscissi a dimostrare che $x$ è pari potrei dimostrare che l'unico numero $n\equiv -1$ (mod $8$) che può essere espresso nella forma che ho scritto sopra è $7$, che è anche l'unica soluzione del sistema. Il problema è che ho provato un po' di congruenze diverse ma non riesco trovare contraddizioni e quindi un modo differente per fare questo passaggio della dimostrazione rispetto a quanto proposto nelle soluzioni ufficiali.

Ho anche dimostrato che $y$ deve essere dispari in questo modo:
\[
(p+1)^{2}-2p=2y^{2}
\]
\[
4x^{4}-2p=2y^{2}
\]
\[
p=2x^{4}-y^{2}
\]
e vedendo facilmente che $p$ deve essere dispari, deve essere dispari anche $y$.
Tuttavia non riesco ad andare oltre.
Ho anche pensato di provare a dimostrare, ammesso che sia vero, che esiste un numero finito di primi $p$ esprimibili come soluzione di quell'equazione di tipo Pell ma non ho idea di come fare. Ho provato per alcuni valori di $l$ e ho trovato come risultati altri primi, congrui però a $1$ modulo $8$ e, a meno di probabilissimi errori di calcolo, mi sembra che per $l=8$ il numero che risulta non sia primo, ma non ho idea se sia solo un caso o se significhi che quei binomiali non generano più numeri primi da un certo punto in poi.
Grazie per qualsiasi aiuto.

darkcrystal
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Re: Sistema con un primo e due quadrati

Messaggio da darkcrystal » 20 giu 2016, 00:01

Principio fondamentale: ogni problema di teoria dei numeri (serio) ha una parte di congruenze e una parte di disuguaglianze.

Implementazione del principio nel caso concreto: modulo cosa si potrà mai lavorare? A cosa sono congrui $x$ e $y$? Quanto sono grandi $x$ e $y$ rispetto a questo modulo? Cosa ne deduciamo?

(P.S. il problema si risolve anche con $p$ intero qualunque, non necessariamente primo; quando ci avevo provato dopo averlo visto al test finale del senior, ci ho messo qualche giorno, e non so se mi ricordo la soluzione. Se la ritrovo magari tento di guidarvici... ma per ora fate il problema con $p$ primo!)

EDIT: uhm, mi scordo sempre che esistono le soluzioni ufficiali, quindi immagino che tu non voglia una soluzione qualunque, ma un modo di concludere la tua. Provo a pensarci, ma dimostrare risultati di primalità (o meno) per soluzioni delle Pell in generale è difficile... :(
In particolare, un *grosso* problema che vedo è che c'è anche la soluzione $p=x=y=1$ (con $p$ non primo, chiaramente...) che tenterà in ogni modo di metterti i bastoni fra le ruote se vuoi dimostrare che $x$ è pari. Quello che intendo dire è che qualunque congruenza tu provi non funzionerà, perché se vai modulo $m$ c'è sempre la soluzione $x \equiv y \equiv p \equiv 1 \pmod m$...
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alegh
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Re: Sistema con un primo e due quadrati

Messaggio da alegh » 20 giu 2016, 00:29

Effettivamente la soluzione che utilizza le disuguaglianza l'avevo già trovata e confrontata poi con quella ufficiale.
Quando ho notato che la seconda equazione del sistema era una di tipo Pell ho pensato che non fosse stata messa lì a caso e che quindi esistesse una soluzione alternativa che ne facesse uso. Immaginavo che la questione della primalità fosse però un problema.
Comunque grazie per il principio fondamentale che non scorderò e anche per eventuali novità che proseguano la mia soluzione.

darkcrystal
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Re: Sistema con un primo e due quadrati

Messaggio da darkcrystal » 20 giu 2016, 01:09

Ci ho pensato un pochino (poco, come potrai vedere dall'intervallo fra le risposte...), ma mi sembra che se prendo $k=9369319$ e $y=6625109$ (cioè $l=4$ nella tua notazione), allora $k^2-2y^2=-1$, $k$ è primo, $k \equiv 7 \pmod 8$, e $y$ è dispari: quindi questi numeri rispettano tutte le condizioni che hai imposto tu, ma siccome non danno una soluzione al sistema, vuol dire che qualcosa che non stai usando e invece dovresti usare. Mi spiace, ma mi sembra davvero difficile riuscire a concludere attraverso la tua via...
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Re: Sistema con un primo e due quadrati

Messaggio da alegh » 20 giu 2016, 01:31

Scusa, ma non so dove io sbagli ma per $l=4$ mi esce una cosa ben diversa da quella che tu hai scritto. Intendevi forse $l=40$?
Per $l=4$ a me esce:
\[
k=\binom{9}{0}+\binom{9}{2}2+\binom{9}{4}4+\binom{9}{6}8+\binom{9}{8}16
\]
da cui
\[
k=1+72+504+672+144=1393=7\cdot 199
\]
In ogni caso grazie comunque.

darkcrystal
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Re: Sistema con un primo e due quadrati

Messaggio da darkcrystal » 20 giu 2016, 08:49

Scusa tu, evidentemente ero completamente fuso: $l=9$! (Nei miei appunti avevo chiamato $l$ due cose diverse...)
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