1) soluzione banale: $x=0$, $y=0$ e $p$ primo qualsiasi
2) suppongo $x\neq 0$ e $y\neq 0$.
Riscrivo
\[
x^{3}(x^{3}+y)=py^{2}
\]
come un'equazione di secondo grado in $y$
\[
py^{2}-x^{3}y-x^{6}=0
\]
Per aver soluzioni apparteneti a $\mathbb{Q}$ devo avere $\Delta=k^{2}$.
Quindi
\[
\Delta=x^{6}+4x^{6}p=x^{6}(4p+1)=k^{2}
\]
In particolare anche $4p+1$ dovrà essere un quadrato.
Quindi
\[
4p+1=q^{2}
\]
\[
4p=(q-1)(q+1)
\]
Sia $q+1$ che $q-1$, avendo la stessa parità, devono essere chiaramente pari.
$MCD(q+1;q-1)=MCD(q-1;2)=2$ e $q+1>q-1$
Ho un solo caso possibile
\[
\begin{cases}
q+1=2p\\
q-1=2
\end{cases}
\]
che da come soluzioni $q=3$ e $p=2$.
Quindi $\Delta=9x^{6}$
\[
y_{1}=\dfrac{x^{3}+3x^{3}}{4}=x^{3}
\]
e
\[
y_{2}=\dfrac{x^{3}-3x^{3}}{4}=-\dfrac {x^{3}}{2}
\]
che è accettabile solo per $x$ pari.
Nella soluzione ufficiale viene detto che la famiglia di soluzioni ($p,0,0$) vale per i primi dispari e non capisco come mai sia escluso il caso $p=2$. Inoltre viene citata come altra famiglia di soluzioni ($2,x,x^{3}$) mentre non viene menzionata per $x$ pari la famiglia ($2,x,-\frac{x^{3}}{2}$) e nemmeno qui capisco il perché. Qualcuno potrebbe chiarire i miei dubbi? Grazie.