Un primo, un quadrato ed un cubo

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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alegh
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Un primo, un quadrato ed un cubo

Messaggio da alegh » 17 giu 2016, 00:16

Determinare tutte le terne ($p,x,y$) in cui $p$ è un numero primo e ($x,y$) una coppia di numeri interi tali che
\[
x^{3}(x^{3}+y)=py^{2}
\]
Fonte: TF senior 2014

Metto anche la mia soluzione poiché ho trovato una soluzione in più rispetto a quelle ufficiali e, anche dopo una verifica con numeri veri, non riesco a capire dove sbagli. Grazie a chiunque sia così paziente da darle un'occhiata.
Testo nascosto:
1) soluzione banale: $x=0$, $y=0$ e $p$ primo qualsiasi
2) suppongo $x\neq 0$ e $y\neq 0$.
Riscrivo
\[
x^{3}(x^{3}+y)=py^{2}
\]
come un'equazione di secondo grado in $y$
\[
py^{2}-x^{3}y-x^{6}=0
\]
Per aver soluzioni apparteneti a $\mathbb{Q}$ devo avere $\Delta=k^{2}$.
Quindi
\[
\Delta=x^{6}+4x^{6}p=x^{6}(4p+1)=k^{2}
\]
In particolare anche $4p+1$ dovrà essere un quadrato.
Quindi
\[
4p+1=q^{2}
\]
\[
4p=(q-1)(q+1)
\]
Sia $q+1$ che $q-1$, avendo la stessa parità, devono essere chiaramente pari.
$MCD(q+1;q-1)=MCD(q-1;2)=2$ e $q+1>q-1$
Ho un solo caso possibile
\[
\begin{cases}
q+1=2p\\
q-1=2
\end{cases}
\]
che da come soluzioni $q=3$ e $p=2$.
Quindi $\Delta=9x^{6}$
\[
y_{1}=\dfrac{x^{3}+3x^{3}}{4}=x^{3}
\]
e
\[
y_{2}=\dfrac{x^{3}-3x^{3}}{4}=-\dfrac {x^{3}}{2}
\]
che è accettabile solo per $x$ pari.

Nella soluzione ufficiale viene detto che la famiglia di soluzioni ($p,0,0$) vale per i primi dispari e non capisco come mai sia escluso il caso $p=2$. Inoltre viene citata come altra famiglia di soluzioni ($2,x,x^{3}$) mentre non viene menzionata per $x$ pari la famiglia ($2,x,-\frac{x^{3}}{2}$) e nemmeno qui capisco il perché. Qualcuno potrebbe chiarire i miei dubbi? Grazie.

MATHia
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Re: Un primo, un quadrato ed un cubo

Messaggio da MATHia » 17 giu 2016, 00:34

A me la tua sembra giusta.
Testo nascosto:
Riguardo al primo dubbio, secondo me non è sbagliato come hanno scritto: il caso [math] di fatto è compreso in quello più generale [math]. Invece l'altro evidentemente è stato dimenticato. Dov'è che hai trovato le soluzioni? Nel solito sito delle videolezioni di Max ho trovato solo gli aiutini, in cui alla fine si parla di due famiglie infinite di soluzioni, per cui penso che la tua sia giusta.

alegh
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Re: Un primo, un quadrato ed un cubo

Messaggio da alegh » 17 giu 2016, 00:47

Ok, grazie. Nel pdf con i testi e gli hint dei problemi del senior ci sono anche le soluzioni numeriche dei problemi che hanno un risultato. Nel pdf sono sotto "Test finale - Risposte", dopo gli hint per il test iniziale e prima di quelli per il finale.
P.S. il sito è quello delle video lezioni: training e poi esercizi stage (so che ci sono 2 siti con le video lezioni: io uso quello che contiene anche i file degli stage più recenti)
Testo nascosto:
Per quanto riguarda il mio primo dubbio hai ragione, dipende solo da come si separano i casi. Credo che anche se nella mia soluzione ho fatto rientrare il caso ($2,0,0$) nella famiglia ($p,0,0$) anziché in quella ($2,x,x^{3}$) avendo distinto i casi con $x,y=0$ e quello con $x,y\neq 0$ nessuno la contesterebbe.

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