OliForum Matematico

Trovare, se esiste, una funzione $f:\Bbb N_+\to\cal P(\Bbb N_+)$ tale che per ogni a,b interi positivi si ha

* $f(a)\cap f(b)=f(\gcd(a,b))$,
* $f(a)\cup f(b)=f(\operatorname{lcm}(a,b))$,
* $a\in f(a)$,
* $f$ iniettiva


Ps. Qui $\cal P(\Bbb N_+)$ rappresenta le parti di $\Bbb N_+$

Poniamo $f(n)= \{ 1 \} \cup \{ k $ tale che la più grande potenza di primo che divide $k$ divide $n \} $.

Chiaramente $n \in f(n)$ e, se $v_p(a)<v_p(b)=m$ per qualche primo $p$, allora $p^m \in f(b)$ e $p^m \not \in f(a)$. Infine $f(a) \cap f(b)$ contiene $1$ e tutti i $k$ la cui più grande potenza di primo divide sia $a$ sia $b$ (dunque esattamente quelli la cui più grande potenza di primo divide $gcd(a,b)$), mentre $f(a) \cup f(b)$ contiene $1$ e tutti i $k$ la cui più grande potenza di primo divide $a$ oppure $b$ (dunque esattamente quelli la cui più grande potenza di primo divide $lcm(a,b)$).

Oppure, non basta prendere l'insieme dei divisori di $n$?

Non funziona la seconda condizione ogni volta che nessuno dei due numeri divide l'altro, ad esempio se consideri $f(2)=\{1,2\}$ e $f(3)=\{1,3\}$ hai $f(2)\cup f(3)=\{1,2,3\}\ne \{1,2,3,6\}=f(6)$

Oh, certo, è vero. Per qualche motivo avevo in mente solo il $\subseteq$.

Originale Molto bene