Divisori, Eulero, Fattoriali

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Talete
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Divisori, Eulero, Fattoriali

Messaggio da Talete » 10 mag 2016, 14:52

Determinare tutti i numeri naturali $n$ che soddisfano contemporaneamente le seguenti proprietà:

(i) il numero di divisori positivi di $n$ è uguale a $6$;

(ii) $\phi(n)$ è divisore di $6!$
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
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"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
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mr96
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Re: Divisori, Eulero, Fattoriali

Messaggio da mr96 » 17 mag 2016, 15:49

Sono solo
Testo nascosto:
32,45,18,75,50,20,12
? Se si appena ho un pc posto la dimostrazione :D

Claudio.
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Re: Divisori, Eulero, Fattoriali

Messaggio da Claudio. » 17 mag 2016, 18:31

mr96 ha scritto:Sono solo
Testo nascosto:
32,45,18,75,50,20,12
? Se si appena ho un pc posto la dimostrazione :D
Te ne sei persi un po'...
Testo nascosto:
52, 76, 124, 148, 164, 244, 292, 724...
E ce ne sono altri, a parte farli a mano non ho trovato però un buon metodo per calcolarli.
Ultima modifica di Claudio. il 17 mag 2016, 19:18, modificato 1 volta in totale.

mr96
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Re: Divisori, Eulero, Fattoriali

Messaggio da mr96 » 17 mag 2016, 18:46

Claudio. ha scritto:
mr96 ha scritto:Sono solo
Testo nascosto:
32,45,18,75,50,20,12
? Se si appena ho un pc posto la dimostrazione :D
Te ne sei perso un po'...
Testo nascosto:
52, 76, 124, 148, 164, 244, 292, 724...
E ce ne sono altri, a parte farli a mano non ho trovato però un buon metodo per calcolarli.
Ok, si, ho fatto un po' di casino... Ci riproverò :lol:

Claudio.
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Re: Divisori, Eulero, Fattoriali

Messaggio da Claudio. » 17 mag 2016, 19:13

Per qualche ragione li ho calcolati tutti, dovrebbero essere:
Testo nascosto:
12, 18, 20, 24, 32, 44, 50, 52, 63, 75, 76, 99, 117, 124, 148, 164, 175, 244, 279, 292, 325, 369, 724, 925
Ma senza una calcolatrice ed una tavola dei numeri primi il mio metodo sicuramente non è fattibile.

Claudio.
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Re: Divisori, Eulero, Fattoriali

Messaggio da Claudio. » 17 mag 2016, 19:42

Claudio. ha scritto:Per qualche ragione li ho calcolati tutti, dovrebbero essere:
Testo nascosto:
[math]
Ma senza una calcolatrice ed una tavola dei numeri primi il mio metodo sicuramente non è fattibile.

Talete
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Re: Divisori, Eulero, Fattoriali

Messaggio da Talete » 17 mag 2016, 21:27

Non sono tutti, e non tutti quelli che hai scritto sono giusti.

Esempio: manca il numero $28$, che ha come divisori $1$, $2$, $4$, $7$, $14$ e $28$ (quindi ne ha $6$) e $\phi(28)=6$, che è un palese divisore di $6!$
Esempio: hai scritto il numero $24$, ma ha come divisori $1$, $2$, $4$, $8$, $3$, $6$, $12$, $24$ (che sono $8$).

Btw, io l'ho risolto senza calcolatrici né tavole: basta sapere un paio di primi relativamente alti, tipo $61$. Tu come hai fatto? ;)
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Re: Divisori, Eulero, Fattoriali

Messaggio da Claudio. » 17 mag 2016, 22:27

Il 24 è un typo per 28. Potrebbero esserci altri errori. Non ho ricontrollato comunque.
I numeri con 6 divisori sono di forma $p^5$ o $p_1p_2^2$
Nel primo caso $\phi(p^5)=p^5-p^4=p^4(p-1)$ e da $p^4(p-1)|720 \to p\le3$ da cui otteniamo solo $2^5$.
Nel secondo caso $\phi(p_1p_2^2)=p_1p_2^2-p_1^2-p_1p_2+p_2=p_2(p_2-1)(p_1-1)\to p_2\in \{2,3,5\}$ perciò bisogna cercare i primi p per cui $p-1|360, 120, 36$ da cui quella roba là.

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Re: Divisori, Eulero, Fattoriali

Messaggio da fph » 17 mag 2016, 23:39

Facendolo fare brutalmente a Sage:

Codice: Seleziona tutto

[n for n in srange(10000) if euler_phi(n).divides(factorial(6)) and len(divisors(n))==6]
[12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 75, 76, 99, 117, 124, 148, 164, 175, 244, 279, 292, 325, 369, 475, 549, 724, 925]
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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Re: Divisori, Eulero, Fattoriali

Messaggio da Talete » 18 mag 2016, 02:25

Sì ok, il metodo risolutivo è il medesimo.
Testo nascosto:
$n$ è o della forma $p^5$ o della forma $p^2q$ (altrimenti non ha $6$ divisori)

Adesso, $\phi(n)=p^4(p-1)$ nel primo caso, che dovendo dividere $2^4\cdot3\cdot5$ porta a $n=32$.

Nel secondo caso, $\phi(n)=p(p-1)(q-1)$, ora chiaramente $p$ è tra $2$, $3$ e $5$.

$p=2$ porta a: $q-1$ divide $2^3\cdot3^2\cdot5$, e da qui $q-1$ può essere $1$, $2$, $4$, $8$, $3$, $6$, $12$, $24$, $5$, $10$, $20$, $40$, $9$, $18$, $36$, $72$, $15$, $30$, $60$, $120$, $45$, $90$, $180$, $360$. Si ricavano i $q$ primi che vanno bene ($3$, $5$, $7$, $13$, $11$, $41$, $19$, $37$, $73$, $31$, $61$, $181$) e quindi gli $n$ che vanno bene ($12$, $20$, $28$, $52$, $44$, $164$, $76$, $148$, $292$, $124$, $244$, $724$)

$p=3$ porta a: $q-1$ divide $2^3\cdot3\cdot5$, e da qui $q-1$ può essere $1$, $2$, $4$, $8$, $3$, $6$, $12$, $24$, $5$, $10$, $20$, $40$, $15$, $30$, $60$, $120$. Quindi $q$ può essere $2$, $5$, $7$, $13$, $11$, $41$, $31$, $61$ e $n$ quindi $18$, $45$, $63$, $117$, $99$, $369$, $279$, $549$.

$p=5$ porta a: $q-1$ divide $2^2\cdot3^2$, e da qui $q-1$ può essere $1$, $2$, $4$, $3$, $9$, $6$, $12$, $18$, $36$, quindi $q$ è tra $2$, $3$, $7$, $13$, $19$, $37$ e dunque $n$ è $50$, $75$, $175$, $325$, $475$, $925$.

In totale $n$ può essere:
$12$, $18$, $20$, $28$, $32$, $44$, $45$, $50$, $52$, $63$, $75$, $76$, $99$, $117$, $124$, $148$, $164$, $175$, $244$, $279$, $292$, $325$, $369$, $475$, $549$, $724$, $925$
Tutto considerato, te ne sei persi un po' ma la maggior parte li hai trovati (e il ragionamento era giusto). Comunque auguriamoci che un problema del genere non ci capiti MAI in gara ;)
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
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mr96
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Re: Divisori, Eulero, Fattoriali

Messaggio da mr96 » 18 mag 2016, 09:17

Stessa cosa che ho fatto io, peccato che (stupidamente) mi sia peso il fatto che q può essere qualsiasi cosa... Mi ero convinto di dover avere q-1 = 2,3,5 :?

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