Esercizino per riscaldarsi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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nuoveolimpiadi1999
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Esercizino per riscaldarsi

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 09 mag 2016, 22:17

Sommando un certo numero n di addendi (i primi due oppure i primi tre oppure i primi quattro ecc.) della serie –1^2 +2^2 –3^2 +4^2 –5^2 +.....,Carlaottieneun numero (positivo) di quattro cifre, della forma aabb. Quanti addendi ha sommato Carla?

nuoveolimpiadi1999
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Re: Esercizino per riscaldarsi

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 29 mag 2016, 20:46

Ripropongo

igoh
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Re: Esercizino per riscaldarsi

Messaggio da igoh » 29 mag 2016, 23:26

66?

Talete
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Re: Esercizino per riscaldarsi

Messaggio da Talete » 29 mag 2016, 23:38

igoh ha scritto:66?
Credo debba essere di quattro cifre...

EDIT: scusa, capisco ora che intendevi $n=66$ e non $aabb=66$. ;) allora è giusto!
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karlosson_sul_tetto
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Re: Esercizino per riscaldarsi

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 30 mag 2016, 15:14

Magari una dimostrazione che sia il solo non guasterebbe :)
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igoh
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Re: Esercizino per riscaldarsi

Messaggio da igoh » 30 mag 2016, 17:36

Allora intanto per induzione vediamo che la somma dei primi $2n$ termini fa $\frac{2n(2n+1)}{2}$.
Passo base ovvio e supponendo che la relazione valga per i primi $2n$ abbiamo
$$\frac{2n(2n+1)}{2}-(2n+1)^2+(2n+2)^2=\frac{2n(2n+1)}{2}+(2n+2+2n+1)(2n+2-2n-1)=\frac{2n(2n+1)}{2}+(2n+1)+(2n+2)=\frac{(2n+2)(2n+3)}{2}$$
Da qui sempre per induzione si vede che la somma di un numero dispari di termini è negativa infatti $\frac{2n(2n+1)}{2}<(2n+1)^2$
Quindi sappiamo che $n$è pari e $\frac{n(n+1)}{2}=aabb$ il quale è divisibile per $11$ da cui uno tra $n$ e $n+1$ è multiplo di 11.
Poiche $aabb$ hA $4$ cifre 32<n<99 da cui rimangono solo i casi $n=44,54,66,76,88,98$ e si finisce a mano.
edit:ho dimenticato il diviso 2 :oops: 44 va tolto ma se ne aggiungono altri...

Talete
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Re: Esercizino per riscaldarsi

Messaggio da Talete » 30 mag 2016, 18:10

Il finale l'ho fatto un po' diverso: scritto $n=2k$ e $k(2k+1)=11(100a+b)$ ho diviso in casi

• $k$ multiplo di $11$ implica $k=11m$ e $22m^2+m=100a+b$. Provando i vari $m$ si ottiene: $23$ (non va bene), $90$ (neppure), $201$ (teoricamente va bene, vediamo poi), $356$ (non va), $555$ (non va), $798$ (non va), $1085$ (troppo alto, smettiamo qua). Va bene solo $201$ che porta a $a=2$ e $b=1$ e quindi a $2211$, con $n=66$.

• $2k+1$ multiplo di $11$ implica $k=11m+5$ e $22m^2+21m+5=100a+b$. Provando i vari $m$ si ottiene: $48$ (non va), $135$ (non va), $266$ (non va), $441$ (non va), $660$ (neppure), $923$ (neanche), $1230$ (troppo alto, stop). Non va bene niente, abbiamo concluso.

Unica soluzione è $n=66$ e $aabb=2211$.
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