IMO 1960 1

[alegh]

Trovare tutti i numeri di tre cifre tali che dividendo il numero per 11 si ottiene la somma dei quadrati delle cifre del numero iniziale.

[matpro98]

Per ipotesi abbiamo $100a+10b+c=11 (a^2+b^2+c^2) $ e $b=a+c$ poiché il numero è divisibile per $11$. Sostituendo abbiamo $2a^2+2c^2-10a-c+2ac $; e si vede facilmente che $4 \mid c $, quindi $c={0,4,8} $. L'unico caso che porta ad una soluzione è $c=0$, da cui otteniamo $550$.

[fph]

Non è detto che $b=a+c$; per esempio 308 è divisibile per 11.

[matpro98]

Vero. Il caso che manca è $b=0, a+c=11$ che porta a $2a^2-31a+120$, $a=8$ e quindi l'altra soluzione è $803$

[alegh]

Ok, trovo anch'io solo $550$ e $803$ come soluzioni.

[nuoveolimpiadi1999]

Scusate se non ci arrivo ma perché 4|c ????

[matpro98]

Guarda l'equazione modulo 4 (mi sono dimenticato di mettere =0 in entrambi i messaggi, spero si sia capito)