IMO 1960 1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
alegh
Messaggi: 143
Iscritto il: 10 giu 2015, 21:38

IMO 1960 1

Messaggio da alegh » 15 apr 2016, 00:29

Trovare tutti i numeri di tre cifre tali che dividendo il numero per 11 si ottiene la somma dei quadrati delle cifre del numero iniziale.

matpro98
Messaggi: 458
Iscritto il: 22 feb 2014, 18:42

Re: IMO 1960 1

Messaggio da matpro98 » 15 apr 2016, 09:46

Per ipotesi abbiamo $100a+10b+c=11 (a^2+b^2+c^2) $ e $b=a+c$ poiché il numero è divisibile per $11$. Sostituendo abbiamo $2a^2+2c^2-10a-c+2ac $; e si vede facilmente che $4 \mid c $, quindi $c={0,4,8} $. L'unico caso che porta ad una soluzione è $c=0$, da cui otteniamo $550$.

fph
Site Admin
Messaggi: 3665
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: IMO 1960 1

Messaggio da fph » 15 apr 2016, 09:53

Non è detto che $b=a+c$; per esempio 308 è divisibile per 11.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

matpro98
Messaggi: 458
Iscritto il: 22 feb 2014, 18:42

Re: IMO 1960 1

Messaggio da matpro98 » 15 apr 2016, 10:05

Vero. Il caso che manca è $b=0, a+c=11$ che porta a $2a^2-31a+120$, $a=8$ e quindi l'altra soluzione è $803$

alegh
Messaggi: 143
Iscritto il: 10 giu 2015, 21:38

Re: IMO 1960 1

Messaggio da alegh » 15 apr 2016, 19:34

Ok, trovo anch'io solo $550$ e $803$ come soluzioni.

nuoveolimpiadi1999
Messaggi: 124
Iscritto il: 31 mar 2015, 13:30

Re: IMO 1960 1

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 11 mag 2016, 18:23

Scusate se non ci arrivo ma perché 4|c ????

matpro98
Messaggi: 458
Iscritto il: 22 feb 2014, 18:42

Re: IMO 1960 1

Messaggio da matpro98 » 11 mag 2016, 19:42

Guarda l'equazione modulo 4 (mi sono dimenticato di mettere =0 in entrambi i messaggi, spero si sia capito)

Rispondi