IMO 1962 1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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alegh
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IMO 1962 1

Messaggio da alegh » 06 apr 2016, 15:33

Trovare il più piccolo numero naturale $ n $ con le seguenti proprietà:
$ (a) $ Nella rappresentazione decimale termina con la cifra $ 6 $
$ (b) $ Se spostiamo questa cifra in modo tale che sia la prima da sinistra, otteniamo un numero $ 4 $ volte più grande

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RiccardoKelso
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Re: IMO 1962 1

Messaggio da RiccardoKelso » 06 apr 2016, 18:02

Si imposti l'equazione $4(10k+6)=k+6\cdot 10^x$, da cui si evince $39\mid 6\cdot 10^x-24$. Evidentemente $\forall x\: \: 3\mid 6\cdot 10^x-24$, rimane da trovare quindi il più piccolo $x\in \mathbb{N}$ tale per cui $13\mid 6\cdot 10^x-24$. In fondo $10\equiv -3 \pmod {13}$, quindi non è poi troppo faticoso trovare il primo $x=5$. Da cui $n=153846$.
Hai paura di bagnarti?

Non si può entrare nell'angolo rotture della lidl

$N_n=(n-1)(N_{n-1}+N_{n-2}), \space N_1=0, \space N_2=1$

alegh
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Re: IMO 1962 1

Messaggio da alegh » 07 apr 2016, 01:24

Trovo anch'io il tuo stesso risultato. Posto anche la mia soluzione:
-$n$ di una cifra: impossibile
-$n$ di due cifre: $6a=4\cdot a6\Rightarrow 4|6a\Rightarrow a=0$ o $a=4$ o $a=8$. Non ci sono valori accettabili
-$n$ di tre cifre: $6ab=4\cdot ab6$. $a\leq \frac{3}{2}\Rightarrow a=1$. Quindi $61b=4\cdot 1b6$. $4|1b\Rightarrow b=2$ o $b=6$. Ma $126\cdot 4\neq 612$ e $166\cdot 4\neq 616$
-$n$ di quattro cifre: $abc6\cdot 4=6abc$. $a\leq \frac{3}{2}\Rightarrow a=1$. Moltiplicando si vede che $c=4$ e $b=8$ ma se $b>5\Rightarrow n$ troppo grande.
-$n$ di cinque cifre:$abcd6\cdot 4=6abcd$. Per quanto detto ai casi precedenti $b\leq 5$, $a=1$, $d=4$. Se $b\leq 4\Rightarrow n$ troppo piccolo $\Rightarrow b=5$. $15c46\cdot 4=615c4$. $8|615c4\Rightarrow 8|5c4\Rightarrow c=8$ o $c=4$ o $c=0$. $c=8\Rightarrow n$ troppo grande; $c=0\Rightarrow n$ troppo piccolo; $c=4\Rightarrow n$ non verifica la tesi (conto a mano).
-$n$ di sei cifre: $abcde6\cdot 4=6abcde$. Per quanto detto ai punti precedenti $a=1$, $b=5$, $e=4$. Moltiplicando $n$ effettivamete per $4$ otteniamo $153846$, che verifica esattamente la tesi: $153846\cdot 4=615384$.

P.S. gli IMO 1/4 o anche 2/5 vecchi quanto questo secondo voi per la loro difficoltà quale numero potrebbero avere in un Cesenatico recente? O ritenete siano ancora più semplici (livello dimostrativo febbraio) ?
P.P.S. esiste un sito in cui è possibile trovare le soluzioni delle IMO sia recenti che non (in particolare di quelle più vecchie sulle quali mi sto allenando)?

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