Vanno di moda.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Giovanni_98
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Vanno di moda.

Messaggio da Giovanni_98 » 30 mar 2016, 15:31

Siano $a,b$ due numeri primi. Risolvere $$a^b-b^a=ab^2-19$$

PIELEO13
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Re: Vanno di moda.

Messaggio da PIELEO13 » 11 apr 2016, 22:11

il quadrato comprende ab o solo b?

Giovanni_98
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Re: Vanno di moda.

Messaggio da Giovanni_98 » 13 apr 2016, 19:02

Only $b$.

PIELEO13
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Re: Vanno di moda.

Messaggio da PIELEO13 » 14 apr 2016, 22:50

Ok ok in ogni caso è un Fermat :)

Talete
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Re: Vanno di moda.

Messaggio da Talete » 09 mag 2016, 19:59

Oh che bello! Questo non l'avevo mai visto, mi è piaciuto ;) Da dov'è preso?
Testo nascosto:
Dimostro che le uniche coppie buone sono $(2,3)$ e $(2,7)$.

Supponiamo per assurdo che sia $a$ che $b$ siano dispari.
Allora per il piccolo teorema di Fermat si ha che $a+19\equiv0\pmod{b}$ e che $b-19\equiv0\pmod{a}$.
Scriviamo $a+19=mb$ e $b-19=na$. Chiaramente $m\ge1$, che porta ad $a\ge b-19$, quindi a $b-19\ge n(b-19)$, che porta a $0\ge (n-1)(b-19)$.
Quindi, o $b\le19$, o $n\le1$. Inoltre non sono possibili entrambe.
Ma se $b\le19$, allora $na\le0$ e quindi, dato che $a>0$, $n\le0$, assurdo perché $n\ge1$.
Allora dev'essere $n\le1$, che però porta a $b-19\le a$ e quindi a $m\le1$. Dato che avevamo detto che $m\ge1$, si ha che $m=1$.
Ma quindi $a+19=b$, che contraddice l'ipotesi che $a$ e $b$ fossero entrambi dispari.

Supponiamo per assurdo che $b=2$.
Allora l'equazione diventa $a^2-2^a=4a-19$. Modulo $a$, ricordando il piccolo teorema di Fermat, si ottiene $17\equiv0$ e quindi $a=17$, palesemente falso.

Dunque $a=2$. Allora $2^b-b^2=2b^2-19$, cioè $2^b+19=3b^2$. Modulo $b$, ricordando il piccolo teorema di Fermat, si ottiene $21\equiv0$ e quindi $b=3$ oppure $b=7$: entrambe queste possibilità portano ad una soluzione.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Giovanni_98
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Re: Vanno di moda.

Messaggio da Giovanni_98 » 09 mag 2016, 21:55

Talete ha scritto:Oh che bello! Questo non l'avevo mai visto, mi è piaciuto ;) Da dov'è preso?
Testo nascosto:
Dimostro che le uniche coppie buone sono $(2,3)$ e $(2,7)$.

Supponiamo per assurdo che sia $a$ che $b$ siano dispari.
Allora per il piccolo teorema di Fermat si ha che $a+19\equiv0\pmod{b}$ e che $b-19\equiv0\pmod{a}$.
Scriviamo $a+19=mb$ e $b-19=na$. Chiaramente $m\ge1$, che porta ad $a\ge b-19$, quindi a $b-19\ge n(b-19)$, che porta a $0\ge (n-1)(b-19)$.
Quindi, o $b\le19$, o $n\le1$. Inoltre non sono possibili entrambe.
Ma se $b\le19$, allora $na\le0$ e quindi, dato che $a>0$, $n\le0$, assurdo perché $n\ge1$.
Allora dev'essere $n\le1$, che però porta a $b-19\le a$ e quindi a $m\le1$. Dato che avevamo detto che $m\ge1$, si ha che $m=1$.
Ma quindi $a+19=b$, che contraddice l'ipotesi che $a$ e $b$ fossero entrambi dispari.

Supponiamo per assurdo che $b=2$.
Allora l'equazione diventa $a^2-2^a=4a-19$. Modulo $a$, ricordando il piccolo teorema di Fermat, si ottiene $17\equiv0$ e quindi $a=17$, palesemente falso.

Dunque $a=2$. Allora $2^b-b^2=2b^2-19$, cioè $2^b+19=3b^2$. Modulo $b$, ricordando il piccolo teorema di Fermat, si ottiene $21\equiv0$ e quindi $b=3$ oppure $b=7$: entrambe queste possibilità portano ad una soluzione.
Balkan.

Talete
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Re: Vanno di moda.

Messaggio da Talete » 09 mag 2016, 22:25

Grazie ;)
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