Insieme misterioso

[Gerald Lambeau]

Determinare l'insieme di tutti gli interi positivi coprimi con tutti i numeri della forma $2^n+3^n+6^n-1$ con $n$ intero positivo.

[Talete]

Questo l'ho già visto (da una vecchia Balkan?), metto un paio di hint per coloro ai quali servono...

Testo nascosto:

Fissato un primo $p$, riusciamo a trovare un $n$ tale che $p$ divide $2^n+3^n+6^n-1$?

Testo nascosto:

Supponiamo di aver risposto affermativamente al primo hint... allora il problema sarebbe concluso, vero?

Testo nascosto:

Per rispondere al primo hint, potrebbe essere utile ricordare la famosa e ben nota formula
\[2^{-1}+3^{-1}+6^{-1}-1=0.\]

Testo nascosto:

Ce la facciamo a far diventare la formula del terzo hint una cosa valida anche modulo $p$? Come lo scegliamo quindi $n$?

Testo nascosto:

Ricordiamoci di non perdere punti perché ci dimentichiamo che $1$ è coprimo con qualsiasi cosa, oppure non facciamo separatamente i casi $p=2$ o $p=3$.

E poi la soluzione!

Testo nascosto:

Chiamo simpatici i numeri appartenenti all'insieme richiesto. Dimostriamo che l'unico numero simpatico è $1$.

Innanzitutto, se un certo primo $p$ non è simpatico, allora qualsiasi multiplo di $p$ non è simpatico, perché se c'è un numero della forma $2^n+3^n+6^n-1$ non coprimo con $p$ (e quindi, dato che $p$ è primo, divisibile per $p$), allora tale numero non è coprimo con nessun multiplo di $p$.

Dimostriamo che $2$ non è simpatico: basta prendere $n=1$ e otteniamo $2^1+3^1+6^1-1=10$, che è multiplo di $2$.

Dimostriamo che $3$ non è simpatico: basta prendere $n=2$ e otteniamo $2^2+3^2+6^2-1=48$, che è multiplo di $3$.

Dimostriamo che qualsiasi $p$ primo, con $p\neq2$ e $p\neq3$, non è simpatico: prendiamo $n=p-2$. Guardiamo modulo $p$ e ricordiamoci che $a^{p-1}\equiv 1$ per ogni $a$ coprimo con $p$ e quindi in particolare per $2$, $3$ e $6$:
\[2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1=2^{p-1}\cdot2^{-1}+3^{p-1}\cdot3^{-1}+6^{p-1}\cdot6^{-1}-1\equiv2^{-1}+3^{-1}+6^{-1}-1=0.\]

[Gerald Lambeau]

Ed è ovviamente corretta.