Quando si dice non stare più nella pelle

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Gerald Lambeau
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Quando si dice non stare più nella pelle

Messaggio da Gerald Lambeau » 24 mar 2016, 15:49

Sia $n$ un intero non negativo. Dimostrare che se $2+2\sqrt{1+12n^2}$ è intero allora è anche un quadrato perfetto e determinare tutti gli $n$ per i quali è effettivamente intero.
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Vinci
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Re: Quando si dice non stare più nella pelle

Messaggio da Vinci » 28 mar 2016, 18:45

Credo di averlo risolto, ma non ne sono sicuro. Metto la risposta, se è giusta metto la dimostrazione.
Testo nascosto:
Per caso le uniche soluzioni sono 0 e 2?

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Gerald Lambeau
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Re: Quando si dice non stare più nella pelle

Messaggio da Gerald Lambeau » 28 mar 2016, 18:52

Nope, ce ne sono altre.
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Fbuonarroti
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Re: Quando si dice non stare più nella pelle

Messaggio da Fbuonarroti » 30 mar 2016, 17:47

Un hint per la prima parte?

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Gerald Lambeau
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Re: Quando si dice non stare più nella pelle

Messaggio da Gerald Lambeau » 30 mar 2016, 18:18

La prima parte sono sostituzioni e un po' di casistica (tipo un paio di casi mi sembra); alternativamente c'è il metodo assassino, ma è caldamente consigliato che chi lo conosce e sa come usarlo eviti (o almeno metta in spoiler) per lasciare il passo a chi vuol tentare la via più elementare.
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Drago96
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Re: Quando si dice non stare più nella pelle

Messaggio da Drago96 » 30 mar 2016, 19:23

Il metodo assassino è molto divertente! :lol:
Ed è anche spoilerato nel titolo :P
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Gerald Lambeau
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Re: Quando si dice non stare più nella pelle

Messaggio da Gerald Lambeau » 30 mar 2016, 19:32

:wink: :P
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erFuricksen
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Re: Quando si dice non stare più nella pelle

Messaggio da erFuricksen » 30 mar 2016, 22:00

Non credo di aver capito a quali metodi vi riferite, io ne ho trovato uno (probabilmente quello assassino, ma non lo so) quindi mi piacerebbe tanto sapere l'altro!
Testo nascosto:
Ovviamente deve essere razionale $\sqrt{12 n^2 +1}$ e quindi intero. Sia allora $k$ un intero positivo tale che $12 n^2 +1 =k^2$ , vediamo facilmente che questa è una Pell che ha soluzioni positive $k+ \sqrt{12} n = (k_0 + \sqrt{12} n_0)^i$ e una soluzione (0,1) se contiamo quelle non negative. Vediamo facilmente che (0,1) soddisfa i requisiti, quindi concentriamoci sulle altre. Troviamo subito $k_0=7$ e $n_0=2$, da cui $k+ \sqrt{12} n=(7+4 \sqrt{3} )^i$ e quindi anche $k-\sqrt{12} n=(7-4 \sqrt{3})^i$. Ma quindi vale $k={{(7+4 \sqrt{3})^i + (7-4 \sqrt{3})^i} \over 2}$ .
Vediamo adesso che dalla definizione di $k$ vale $2+2 \sqrt{12 n^2 +1}=2k+2=(7+4 \sqrt {3})^i+(7-4 \sqrt{3})^i+2$. Ora, la chiave di tutto sta nel notare che $7+4 \sqrt{3} = (2+ \sqrt{3})^2$, da cui $2k+2=(2+ \sqrt{3})^{2i}+(2- \sqrt{3})^{2i}+2=((2+ \sqrt{3})^i + (2- \sqrt{3})^i)^2$ che è la tesi.
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

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Gerald Lambeau
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Re: Quando si dice non stare più nella pelle

Messaggio da Gerald Lambeau » 30 mar 2016, 22:15

Giusta! L'altro metodo è quello più elementare e senza troppa teoria, come ho già detto sono solo sostituzioni e casi.
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