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Consideriamo il polinomio $P(x) = (x+d_1)(x+d_2)\cdots (x+d_9)$ dove $d_1,d_2,\cdots,d_9$ sono interi distinti. Dimostrare che esiste un $N$ intero tale che per ogni $x \ge N$ ($x$ intero) $P(x)$ ha un primo $>20$ che lo divide

Nessun idea?

Sinceramente penso di aver fatto degli errori, ma non riesco a trovarli.
Ipotizziamo per assurdo che gli $x$ per cui$P(x)$ è esprimibile come prodotto di primi $<20$ siano in numero infinito, allora c'è almeno una combinazione (del tipo ogni fattore $x+d_i$ è prodotto di potenze di un preciso insieme di primi) che si ripete infinite volte. Si osservi che i primi elevati a qualche potenza comuni a due fattori sono "limitati" in quanto essi devono dividere anche la differenza tra i due fattori, che è costante ($d_i-d_j$). Siano $x_1<x_2$ due valori di $x$ che corrispondono a due combinazioni coincidenti (non per le potenze ovviamente) e WLOG $x_{1,2}+d_1$ e $x_{1,2}+d_2$ quattro fattori tali che: $M=MCD(x_{1}+d_1,x_{1}+d_2)=MCD(x_{2}+d_1,x_{2}+d_2), p^\alpha=\frac{x_{1}+d_1}{M}, p^\beta=\frac{x_{1}+d_2}{M}, p^a=\frac{x_{2}+d_1}{M}, p^b=\frac{x_{2}+d_2}{M}$.
Si ha $Mp^\alpha+(x_2-x_1)=Mp^a$ e $Mp^\beta+(x_2-x_1)=Mp^b$.
Ma allora $p^a-p^\alpha=p^b-p^\beta$, ma $p^a$ e $p^\alpha$ hanno sicuramente dei fattori non comuni a $p^b$ e $p^\beta$ e viceversa, da cui l'assurdo.
Con ogni probabilità è una dimostrazione errata dato che non ho sfruttato il fatto che i primi $<20$ siano 8 mentre i fattori sono 9, oltre al fatto che avrei dimostrato un qualcosa di molto più forte mi pare, in quanto la tesi sarebbe vera anche con soli due fattori nel polinomio. Spero che qualcuno abbia voglia di spiegarmi dove sbaglio

RiccardoKelso ha scritto: Ma allora $p^a-p^\alpha=p^b-p^\beta$, ma $p^a$ e $p^\alpha$ hanno sicuramente dei fattori non comuni a $p^b$ e $p^\beta$ e viceversa, da cui l'assurdo.

non riesco a capire, in che senso? non sono tutte potenze dello stesso primo?

Per pigrizia ho usato una notazione effettivamente incomprensibile, chiedo scusa. Con $p^{qualcosa}$ intendo una generica produttoria di primi elevati a una certa potenza; il punto focale della dimostrazione è che $p^\alpha$ e $p^a$ si ottengono moltiplicando gli stessi primi (in quanto c'è almeno una combinazione che si ripete etc.) e analogamente $p^\beta$ e $p^b$; ma i primi da cui si ottengono $p^\alpha$ e $p^a$ sono disgiunti da quelli di $p^\beta$ e $p^b$ per come sono stati costruiti.

RiccardoKelso ha scritto: ... il punto focale della dimostrazione è che $p^\alpha$ e $p^a$ si ottengono moltiplicando gli stessi primi (in quanto c'è almeno una combinazione che si ripete etc.) e analogamente $p^\beta$ e $p^b$ ...

Non mi sembra che questo si possa dire con certezza: tu sai che $P(x_1)$ e $P(x_2)$ hanno gli stessi primi (tutti minori di 20) nella loro fattorizzazione, però a questo punto non sai molto sui singoli fattori $(x_{1,2}+d_1)$ e $(x_{1,2}+d_2)$. Da quel che affermi dopo, mi sembra che tu assuma che $(x_1+d_1)$ e $(x_2+d_1)$ debbano avere dei fattori primi in comune, mentre questo non è vero: potrebbe accadere che i primi di $(x_1+d_1)$ "finiscano", che so, in $(x_2+d_3)$, e che quelli di $(x_2+d_1)$ siano in $(x_1+d_3)$. In tal caso il tuo assurdo non sarebbe più tale.

Infine, se vuoi un motivo in più per dubitare della tua soluzione, non hai usato nemmeno l'ipotesi che i $d_i$ siano distinti

Con combinazioni intendevo proprio questo, essendo in numero finito almeno una si ripete infinite volte.. riguardo ai $d_i$ distinti dimenticai di citarlo ma in pratica lo davo per scontato, altrimenti $p^\alpha=p^a=p^\beta=p^b$, quindi niente assurdo. Finché riesco a spiegarmi vado avanti, ma ancora non sono convinto della correttezza della dimostrazione. Se fosse giusta avrei dimostrato il seguente
LEMMA: $\forall K>0$ sia il polinomio $P(x)=\prod_{1\leq i\leq n}(x+d_i)$ con $n>1$ e $d_i\neq d_j$ per $i\neq j$ $\Rightarrow$ $\exists M \in \mathbb{N}|\forall x \in \mathbb{N}, x>M$ si ha che $P(x)$ contiene in fattorizzazione almeno un primo $p>K$. Boh, sembra dura ma non impossibile.