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Siano $ a, b, c, d, n \in \mathbb{N} $. Mostrare che se $ ab=cd $ allora NON può esistere un primo nella forma:
$ a^n + b^n + c^n + d^n $

erFuricksen ha scritto:

Testo nascosto:

$d={ab \over c}$
$a^n+b^n+c^n+d^n=a^n+b^n+c^n+({ab \over c})^n={1 \over c^n}(a^n+c^n)(b^n+c^n)$
Ma siccome entrambi i fattori a numeratore sono strettamente maggiori di $c^n$ allora per quanto io possa dividerli per divisori di $c^n$ rimarranno entrambi maggiori di 1, quindi il numero non può essere primo.

Faccio una domanda il cui scopo è quello di dipanare i miei dubbi: non andrebbero spese due paroline sul perché i due fattori rimangono effettivamente interi? A priori potrebbero essere due numeri razionali il cui prodotto è un numero primo.. no?

Comunque basta poco, ad esempio chiami $X=MCD(a^n,c^n),Y=MCD(b^n,c^n)$ e si fa vedere in fretta che $\frac{XY}{c^n}$ è intero dato che $\frac{a^nb^n}{c^n}=d^n$.

Se non è necessario questo discorso pregherei qualche buon samaritano di illuminarmi riguardo al motivo per cui non lo è.

Beh, il fatto che siano interi è abbastanza scontato dalla genesi dell'espressione, infatti io potevo tranquillamente mantenere tutto in questo modo:
$a^n+b^n+c^n+({ab \over c})^n=({a^n \over x}+y)({b^n \over y} +x)$
Dove $xy=c^n$ e x,y sono scelti in modo che dividano rispettivamente $a^n$ e $b^n$, ed è possibile perché d è intero.
In fondo è la stessa cosa, ma prima mi sono semplicemente semplificato i conti.