Determinare tutti gli interi positivi $n$ per cui esiste un intero positivo $m$ tale che $$\frac{4^n - 1}{3} \quad \text{divide} \quad 49m^2 + 1$$
Bonus. (Non vale per la staffetta) Determinare tutti gli interi positivi $n$ per cui esiste un intero positivo $m$ tale che $$n \quad \text{divide} \quad 49m^2 + 1$$
195. Divisibilità
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Re: 195. Divisibilità
Testo nascosto:
Re: 195. Divisibilità
Direi che va bene (a parte il fatto che nel bonus ti sei dimenticato i fattori $2$, ma è stupido).
In alternativa, nel problema originale una volta appurato che $n = 2^k$ si può concludere subito andando di induzione su $k$, sfruttando il fatto che l'esistenza di $m$ gode in un certo senso di moltiplicatività (si mostra con il teorema cinese o anche costruendo il nuovo $m$ a mano).
Invece, per i bravi ragazzi che non usano cose illegali come i generatori modulo $p^k$, il FATTO3 viene anche (con un po' più fatica) mostrando, induttivamente, che esistono $a$ e $b$ primi con $p$ tali che $a^2 + b^2 = p^k$, e poi trasformando $b$ in $1$ e $a$ in un multiplo di $7$ con un po' di manipolazioni (e facendo diventare l'uguaglianza una divisibilità).
In alternativa, nel problema originale una volta appurato che $n = 2^k$ si può concludere subito andando di induzione su $k$, sfruttando il fatto che l'esistenza di $m$ gode in un certo senso di moltiplicatività (si mostra con il teorema cinese o anche costruendo il nuovo $m$ a mano).
Invece, per i bravi ragazzi che non usano cose illegali come i generatori modulo $p^k$, il FATTO3 viene anche (con un po' più fatica) mostrando, induttivamente, che esistono $a$ e $b$ primi con $p$ tali che $a^2 + b^2 = p^k$, e poi trasformando $b$ in $1$ e $a$ in un multiplo di $7$ con un po' di manipolazioni (e facendo diventare l'uguaglianza una divisibilità).
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Re: 195. Divisibilità
Quindi io sarei un ragazzo cattivo e tu uno bravo?!cip999 ha scritto: Invece, per i bravi ragazzi che non usano cose illegali come i generatori modulo $p^k$
Ahahahah, nemmeno avessi utilizzato bombe atomiche tipo la congettura di Bunyakovsky
Re: 195. Divisibilità
Oppure sei una brava ragazza, come preferisci...
Vabbè dai, basta OT sennò ci bannano e non ti mandano alle IMO.
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