Tanti primi?

[Talete]

Trovare tutti i primi $p$ tali che $p^2+10$, $p^2-2$, $p^3+6$ e $p^5+36$ siano tutti contemporaneamente primi.

[Giovanni_98]

I residui terzi modulo $7$ sono $1$ e $-1$ e $0$ ma trattiamo il caso $p=7$ dopo. . Se $p^3 \equiv 1 \pmod 7$ ottengo che $p^3+6 \equiv 0 \pmod 7$. Quindi ora vediamo il caso in cui $p^3 \equiv -1 \pmod 7$. Allora $p \equiv 3,5,6 \pmod 7$. Ora se $p \equiv 3 \pmod 7$ ottengo che che $p^2-2 \equiv 0 \pmod 7$ ma dobbiamo vedere il caso in cui $p=3$ poichè $9-2=7$. Se $p \equiv 5 \pmod 7$ ottengo $p^2+10 \ge 35 \equiv 0 \pmod 7$ e quindi non si può avere la primalità del testo; se $p\equiv 6 \pmod 7$ allora $p^5+36 \equiv 0 \pmod 7$ e quindi anche questo caso è da escludere. Ritornando al caso $p=3$ abbiamo che $p^5+36 \equiv 0 \pmod 3$ e quindi è assurdo. Ci resta solo il caso $p=7$ che da $59,47,349,16843$ che sono tutti primi.

[Talete]

Buona, tutto giusto. Una cosa: in gara come fai a dimostrare che $16843$ è primo? Wolstenholme?

[Giovanni_98]

Esatto, quindi più che dimostrarlo dico che è un numero primo noto

[Talete]

Sì, però in gara il dubbio che non sia primo viene...

[Federico II]

Ma in gara devi dimostrare che un numero è primo? Non basta dirlo, e se è primo la soluzione è giusta? Tipo anche se capitasse un 2011 o 2017 io direi "è primo" e basta...

[Talete]

Eh appunto. "Se è primo la soluzione è giusta". Se non è primo, è stato un azzardo: $2011$ e $2017$ sai che sono primi per conoscenza personale, ma dubito che tu oppure io oppure altri ricordiamo i primi fino a $16843$ o anche oltre. Non si deve dimostrare che $2$ è primo o che $19$ lo è o che il nostro $16843$ lo è, ma buona fortuna nell'accorgerti che $295927$ non è primo.

[Federico II]

Eh da quello che dicevi sembrava che nel foglio che consegni devi scrivere una dimostrazione del fatto che $16843$ è primo...
Comunque (se non conosci i primi di Wolstenholme) credo che il fatto di controllarlo o no dipenda anche dal contesto della gara: ad esempio se fossi al TF con ancora 5 problemi da fare e poco tempo rimasto magari rischierei perché tanto male che va perderei $0,25\ WIBS$, se invece fossi ad un TST con ancora molto tempo potrei controllarlo, magari valutando anche se avere quei 10 minuti in più per fare il resto può cambiare o no, o al massimo decido che lo faccio all'ultimo...

[Talete]

Sì sì hai ragione, è che chiaramente preferirei sempre essere "sicurissimo" ma in alcuni casi non è possibile, purtroppo