numero di tre cifre

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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wotzu
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numero di tre cifre

Messaggio da wotzu » 01 gen 2016, 22:31

sia $abc$ un numero in base 10 di tre cifre , sai che la somma $ acb+bac+bca+cab+cba=3194$, determina $abc$.
Io sono riuscito però il mio metodo prevede di provare 8 possibili soluzioni prima di arrivare a quella giusta .
qual'è secondo voi il modo più veloce di risolverlo?

darkcrystal
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Re: numero di tre cifre

Messaggio da darkcrystal » 04 gen 2016, 10:32

Possibile suggerimento: consideriamo la somma delle cifre di abc, chiamiamola $s$. Dimostra che se sai $s$ allora sai $abc$; siccome $s$ è una somma delle cifre, sappiamo calcolarla modulo 9. Sai concludere?
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MATHia
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Re: numero di tre cifre

Messaggio da MATHia » 01 ago 2016, 23:04

Seguo più o meno l'hint:
Si noti che vale
\[
abc+acb+bac+bca+cab+cba=2(aaa+bbb+ccc)=222(a+b+c)=3194+abc \iff abc=222s-3194
\]
Considerando l'espressione
\[
acb+bac+bca+cab+cba=3194
\]
modulo 9 si ottiene $5s\equiv 8 \pmod{9}\iff s\equiv 7 \pmod{9}$. Visto che $1\le a+b+c\le 27$, allora vale $s\in \{7, 16, 25 \}$. Con $s=7$ si trova $abc<0$, con $s=25$ si trova $abc>999$, mentre con $s=16$ si ha l'unica soluzione $abc=358$.

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