[Ammissione WC16] TdN 3: Frequente disuguaglianza

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Talete
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[Ammissione WC16] TdN 3: Frequente disuguaglianza

Messaggio da Talete » 30 dic 2015, 22:49

NON pubblicate la soluzione prima delle 23:59 di oggi!

Siano $a_1, a_2, a_3, \ldots$ interi positivi distinti e sia $c$ un numero reale nell'intervallo $(0, 3/2)$. Dimostrare che esistono infiniti indici $k$ tali che \[\mathrm{mcm}(a_k, a_{k+1}) > ck.\]
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Federico II
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Re: [Ammissione WC16] TdN 3: Frequente disuguaglianza

Messaggio da Federico II » 31 dic 2015, 19:45

Testo nascosto:
Poni $x_n=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-i)}$, è sempre $\geq0$
Testo nascosto:
Se da un certo punto in poi non ci sono più $k$ buoni prendi un punto di minimo di $x_n$ esamini i vari casi per i tre valori successivi di $a_k$ e viene
Testo nascosto:
cerchi un assurdo tenendo presente che gli $a_k$ non possono essere troppo grandi se no il mcm è troppo grande, né troppo piccoli se no quel valore non era il minimo
Il responsabile della sala seminari

LucaMac
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Re: [Ammissione WC16] TdN 3: Frequente disuguaglianza

Messaggio da LucaMac » 06 gen 2016, 13:14

Dopo aver letto la soluzione di Federico II , utilizzando poteri sovrannaturali vi consiglio di non imboccare la strada del pentimento e del delirio.
Hint per una soluzione più bellina (che nessuno ha mandato..)
Testo nascosto:
$mcm(a,b) \cdot MCD(a,b)=ab$
Testo nascosto:
disuguaglianza un po' a caso con $MCD(a,b)$ se $a \neq b$
Testo nascosto:
a me piacciono i reciproci
Testo nascosto:
scritto non so quanto in maniera formale ma basta per capirsi $\sum\limits_{i=1}^{+ \infty} \frac{1}{i} = + \infty$
"And if we want to buy something to drink?"
"Just go to 7-11"
-----------------------------------
"Why an inequality?"
"Inequality happens"

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