192. Resti e fattoriali

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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192. Resti e fattoriali

Messaggio da jordan » 26 dic 2015, 16:31

Sia $a$ intero tale che $1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!}$. Calcolare il resto di $a$ modulo $13$.
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Giovanni_98
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Re: 192. Resti e fattoriali

Messaggio da Giovanni_98 » 26 dic 2015, 17:53

Notiamo che $a=23! + \frac{23!}{2} + \frac{23!}{3} + \cdots + \frac{23!}{23}$ quindi poichè $13 \mid 23!$ si ha che $a \equiv \frac{23!}{13}$ poichè è l'unico elemento della somma che non è divisibile per $13$. Adesso notiamo che $\frac{23!}{13} = 12! \times 14 \times 15 \cdots \times 23$. Per il teorema di Wilson si ha $12! \equiv -1 \pmod {13}$ mentre $14 \times 15 \times \cdots \times 23 \equiv 10! \pmod{13}$ pertanto $a \equiv -10! \pmod {13}$. Notiamo che $10! = \frac{12!}{12\cdot 11}\equiv \frac{-1}{12\cdot 11} \equiv \frac{-1}{2} \pmod {13}$ e quindi $a \equiv \frac{1}{2} \pmod {13}$ e quindi $a$ è congruo all'inverso di $2$ modulo $13$ e quindi $a \equiv 7$.

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jordan
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Re: 192. Resti e fattoriali

Messaggio da jordan » 27 dic 2015, 01:19

Bene, vai col prossimo :)
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