Sulla scheda gobbiniana N03

[D.S.R.]

Buongiorno, non riesco proprio a venire a capo di un'uguaglianza, sicuramente banale, di una scheda del Gobbino, riguardante il Teorema di Bezout:
\[
ma+nb=d
\]
Dove $a$ e $b$ sono i due interi dati, e $m$ e $n$ quelli da trovare e naturalmente $d=\left(a,b\right)$.
Ci si chiede appunto come trovarli. $a=44$, $b=17$.

• Esegue allora divisioni euclidee iterate:
  \[
  \begin{align*}
  \boxed{44}&=\boxed{17}\cdot 2+\boxed{10}\\
  \boxed{17}&=\boxed{10}\cdot 1+\boxed{7}\\
  \boxed{10}&=\boxed{7}\cdot 1+\boxed{3}\\
  \boxed{7}&=\boxed{3}\cdot 2+\boxed{1}
  \end{align*}
  \]
• Fa questa cosa qui:
  \[
  \begin{align*}
  \boxed{1}&=\boxed{7}-\boxed{\boxed{3}}\cdot 2\\
  &=\color{red}{7-\left( 10-7\right) \cdot 2 }=\color{blue}{\boxed{\boxed{7}}\cdot 3-\boxed{10}\cdot 2}\\
  &=\left(17-10 \right )\cdot 3-10\cdot 2=\boxed{17}\cdot 3-\boxed{\boxed{10}}\cdot 5\\
  &=17\cdot 3-\left(44-17\cdot 2 \right )\cdot 5=\boxed{17}\cdot 13 - \boxed{44}\cdot 5
  \end{align*}
  \]

Trovando che $m=-5$ e $n=13$.
Non ho capito come si passa dal passaggio in rosso a quello in blu.
Grazie.

[MATHia]

\begin{align*} \boxed{1}&=\boxed{7}-\boxed{\boxed{3}}\cdot 2\\ &=\color{red}{7-\left( 10-7\right) \cdot 2 }=\color{blue}{\boxed{\boxed{7}}\cdot 3-\boxed{10}-2}\\ &=\left(17-10 \right )\cdot 3-10\cdot 2=\boxed{17}\cdot 3-\boxed{\boxed{10}}\cdot 5\\ &=17\cdot 3-\left(44-17\cdot 2 \right )\cdot 5=\boxed{17}\cdot 13 - \boxed{44}\cdot 5 \end{align*}

Il passaggio in blu è sbagliato: dovrebbe essere $10\cdot2$ e non $10-2$. Di fatto per passare dal rosso al blu, si toglie la parentesi e si raccoglie il $7$ dalla somma $7-10\cdot2+7\cdot2=7\cdot(1+2)-10\cdot2$, da cui si ottiene la tua blu (una volta corretta).

[D.S.R.]

Pardon, correggo la typo.
Grazie mille, ora mi è chiaro.
Mi era sfuggita.