ISL 2013 — N1

[Talete]

Sia $\mathbb{S}$ l'insieme degli interi strettamente maggiori di $0$. Trovare tutte le possibili funzioni $f$ da $\mathbb{S}$ in sé tale che, per ogni $(m,n)\in\mathbb{S}\times\mathbb{S}$: \[m^2+f(n) \mid mf(m)+n.\]

[cip999]

Ma chiamarlo $\mathbb{Z}^+$?

Comunque, ponendo $m = f(n)$ ricaviamo $$f^2(n) + f(n) \mid f(n)f(f(n)) + n \quad \forall \: n \in \mathbb{S} \qquad (1)$$
Ma $f(n) \mid f^2(n) + f(n)$, ergo, per la $(1)$, $$f(n) \mid f(n)f(f(n)) + n \implies f(n) \mid n \quad \forall \: n \in \mathbb{S}$$
Quindi $f(n) \le n$ e, in particolare, $f(1) = 1$.
Ora se sostituiamo $n = 1$ otteniamo magicamente che $$m^2 + 1 \mid mf(m) + 1 \implies m^2 + 1 \le mf(m) + 1 \implies f(m) \ge m \quad \forall \: m \in \mathbb{S}$$
e questa, unita alla disuguaglianza opposta dimostrata prima, dà $n \le f(n) \le n \quad \forall \: n \in \mathbb{S}$, cioè $f(n) = n$. Sostituendo poi nel testo si vede che questa soddisfa e che quindi è l'unica soluzione.

[Talete]

Beh ma scusami $\mathbb{S}$ è molto più bello di $\mathbb{Z}^+$, no? XD

Comunque, la soluzione è giusta la mia era un poco diversa ma l'idea di base era la stessa, cioè che $a\mid b$ implica $|a|\le |b|$ (che è un'idea banale, alla fin fine).