Somma di cubi è IL MASSIMO VALORE della potenza di due

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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karlosson_sul_tetto
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Somma di cubi è IL MASSIMO VALORE della potenza di due

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 15 nov 2015, 21:24

Trovare tutte le soluzioni intere $(a,b,n)$:
$a^3+b^3=7\cdot 2^{3n}$
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

Nadal21
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Re: Somma di cubi è IL MASSIMO VALORE della potenza di due

Messaggio da Nadal21 » 16 nov 2015, 08:07

idee folli la notte :lol:
Testo nascosto:
scriviamo l'espressione iniziale come $ (a+b)(a^2-ab+b^2)=7\cdot 2^{3n} $

Caso 1: wlog $a$ pari e $b$ dispari. Allora $ (a+b) $ e $ (a^2-ab+b^2) $ sono dispari, per cui l'unico valore possibile di $n$ è quello uguale a 0, e ci si riconduce al problema di trovare dei valori per cui $(a+b)(a^2-ab+b^2)=7$, che risolveremo sotto.

Caso 2: $a$ e $b$ dispari. Allora si avrà che $a+b$ è pari e $ (a^2-ab+b^2) $ dispari. Allora si avrà che
$ a^2-ab+b^2=7 $
$a+b=2^{3n}$
Facendo il $\Delta$ rispetto ad $a$ e poi rispetto a $b$ della prima equazione si ottiene che affinché abbia soluzioni, allora deve essere che $-3\leq b\leq 3$ e similmente $-3\leq a\leq 3$. Siccome $a+b=2^{3n}$ è pari, e dunque $n\neq 0$, si ha che al meno $n=1$, e allora $a+b=8$ almeno. Ma $a+b\leq 3+3 = 6 < 8$, dunque non vi sono soluzioni.

Caso 3: $a$ e $b$ pari. Sia $c$ il massimo esponente di 2 t.c. $2^c \mid \gcd (a,b)$, possiamo dunque scrivere che $a=2^c\cdot k$ ed anche $b=2^c\cdot h$. Almeno uno fra $h,k$ è dispari. L'equazione iniziale diventa dunque
$(2^c\cdot k+ 2^c\cdot h)(2^{2c}\cdot k^2-kh\cdot 2^{c+c}+2^{2c}\cdot h^2)=2^{c+2c}(h+k)(k^2-hk+k^2)$
da cui
$2^{3c}(h+k)(k^2-hk+k^2)=7\cdot 2^{3n} \Rightarrow (h+k)(k^2-hk+k^2)=7\cdot 2^{3(n-c)}$
ci si riconduce dunque ai due casi di sopra, in quanto almeno uno fra $h,k$ è dispari.

Caso 4: $n=0 \Rightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=7$
Notiamo che $(a^2-ab+b^2)>0\;\forall a,b$ per cui gli unici valori che i due fattori dell'espressione di sopra possono assumere sono $1$ e $7$.
Sottocaso 1: $(a+b)=1\Rightarrow a=1-b$ e sostituendo al secondo fattore si ha che
$ a^2-ab+b^2=(1-b)^2-(1-b)b+b^2=7 $
Sviluppando si ottiene
$3b^2 -3b +1=7\Rightarrow 3b^2 -3b -6=0\Rightarrow b^2 -b -2=0$ che ha per soluzioni $b=2$ e $b=-1$ da cui scaturiscono due soluzioni $(a,b,n)$:
$(-1,2,0)\;(2,-1,0)$
Sottocaso 2: $(a+b)=7\Rightarrow a=7-b$ e sostituendo al secondo fattore si ha che
$ a^2-ab+b^2=(7-b)^2-(7-b)b+b^2=1 $
Sviluppando si ottiene
$3b^2 -21b +49=1\Rightarrow 3b^2 -21b +48=0\Rightarrow b^2 -7b +16=0$ che non ha soluzioni nei reali.

Dunque le uniche soluzioni $(a,b,n)$ sono $(-1,2,0)\;(2,-1,0)$.

erFuricksen
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Re: Somma di cubi è IL MASSIMO VALORE della potenza di due

Messaggio da erFuricksen » 16 nov 2015, 19:25

... Dunque le uniche soluzioni sono
Testo nascosto:
$(2^{n+1},-2^n,n)$ e $(-2^n,2^{n+1},n)$
:mrgreen:
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

Nadal21
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Re: Somma di cubi è IL MASSIMO VALORE della potenza di due

Messaggio da Nadal21 » 16 nov 2015, 20:10

Sì giusto mi ero scordato del caso pari :lol:

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