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Sempre disuguaglianze.

Inviato: 04 nov 2015, 18:19
da Giovanni_98
Dimostrare che per qualsiasi $n$ intero positivo vale la seguente disuguaglianza : $$(n!)^2 \leq (\frac{(n+1)(n+2)}{6})^n$$

Re: Sempre disuguaglianze.

Inviato: 09 nov 2015, 17:35
da EELST
Provando per induzione sono arrivato al dover dimostrare che: [math]
ma non so come andare avanti .. si può o bisogna cambiare strada ?? :roll:

Re: Sempre disuguaglianze.

Inviato: 10 nov 2015, 01:24
da scambret
Si può! 8)

Re: Sempre disuguaglianze.

Inviato: 10 nov 2015, 21:59
da erFuricksen
Testo nascosto:
$$\sqrt[n]{(n!)^2} \le {{(n+1)(n+2)} \over 6}$$ è il nostro obbiettivo.
Scrivo $\sqrt[n]{(n!)^2}= \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} (k+1)(n-k)}$ , quindi per AM-GM
$$\sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} (k+1)(n-k)} \le {1 \over n} \sum_{k=0}^{n-1} (nk-k^2)+(n-k)= \left( {{n(n+1)} \over 2}-{{(n+1)(2n+1)} \over 6} +{{n+1} \over 2} \right)= {{(n+1)(n+2)} \over 6} $$