Sempre disuguaglianze.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Giovanni_98
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Sempre disuguaglianze.

Messaggio da Giovanni_98 » 04 nov 2015, 18:19

Dimostrare che per qualsiasi $n$ intero positivo vale la seguente disuguaglianza : $$(n!)^2 \leq (\frac{(n+1)(n+2)}{6})^n$$

EELST
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Re: Sempre disuguaglianze.

Messaggio da EELST » 09 nov 2015, 17:35

Provando per induzione sono arrivato al dover dimostrare che: [math]
ma non so come andare avanti .. si può o bisogna cambiare strada ?? :roll:

scambret
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Re: Sempre disuguaglianze.

Messaggio da scambret » 10 nov 2015, 01:24

Si può! 8)

erFuricksen
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Re: Sempre disuguaglianze.

Messaggio da erFuricksen » 10 nov 2015, 21:59

Testo nascosto:
$$\sqrt[n]{(n!)^2} \le {{(n+1)(n+2)} \over 6}$$ è il nostro obbiettivo.
Scrivo $\sqrt[n]{(n!)^2}= \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} (k+1)(n-k)}$ , quindi per AM-GM
$$\sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} (k+1)(n-k)} \le {1 \over n} \sum_{k=0}^{n-1} (nk-k^2)+(n-k)= \left( {{n(n+1)} \over 2}-{{(n+1)(2n+1)} \over 6} +{{n+1} \over 2} \right)= {{(n+1)(n+2)} \over 6} $$
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

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