prodotti che dividono somme...

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Nadal21
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prodotti che dividono somme...

Messaggio da Nadal21 » 20 ott 2015, 18:49

Determinare più piccolo intero $ n $ tale che [math] per ogni scelta di tre interi positivi $ a $, $ b $ e $ c $, tali che $ a\mid b^3 $ , $ b\mid c^3 $ , $ c\mid a^3 $.

[Post Scriptum: posto questo problema perché la soluzione che ho trovato io non mi consentiva di trovare un unico n, ma bensì un n determinato da a,b e c]

RiccardoKelso

Re: prodotti che dividono somme...

Messaggio da RiccardoKelso » 20 ott 2015, 19:43

Dalle ipotesi si deduce che $b\mid a^9, a\mid c^9, c\mid b^9$. Abbastanza evidente est che con $n\ge 13$ ogni addendo del dividendo interamente sviluppato (il quale chiameremo genericamente $Add$) è tale che $abc\mid Add$, essendo la somma degli esponenti $=n$. Con $n<13$ non possiamo essere sicuri che $\forall Add$ valga $abc\mid Add$, tuttavia non ho approfondito riguardo alla somma e quindi non è escluso che questo $13$ possa essere abbassato. Spero di esserti stato d'aiuto

Edit: 13 non può essere abbassato. Si considerino $a,b,c$ tali che dati tre primi distinti $p,q,z$ si ha che $a=p^9q^3z^1, b=p^1q^9z^3, c=p^3q^1z^9$ (dalle ipotesi si deduce che $a,b,c$ contengono gli stessi fattori primi). 12, in questo caso, non verifica la divisibilità, mentre 13 la verifica sempre.

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