CESENATICO 3 2004

[Enigmatico]

Non so se è già passato per il forum, ma mi sembrava carino, perciò lo posto (anche perché mi servono pareri sulla mia soluzione, diversa da quella proposta)...

$a)$ Determinare se $2005^{2004}$ è somma di due quadrati perfetti positivi.
$b)$ determinare se $2004^{2005}$ è somma di due quadrati perfetti positivi
$c)$ BONUS: dimostrare il punto $b)$ senza fare ricorso ai moduli (e quindi anche alla divisibilità)

[Giovanni_98]

Per il punto a) è sufficiente tenere a mente la terna pitagorica $(3,4,5)$. A questo punto notiamo che $2005=401 \cdot 5$. Pongo $x=401^{1002}\cdot 3 \cdot 5^{1001}$ e $y=401^{1002}\cdot 4 \cdot 5^{1001}$ ottenendo quindi che $x^2+y^2 = 401^{2004} \cdot 5^{2002} (3^2+4^2) = 401^{2004} \cdot 5^{2002} (5^2) = 2005^{2004}$.

Per il punto b) pongo $2004^{2005} = x^2+y^2$. Noto a questo punto che $\pmod 3$ ottengo che $3 | x$ e $3 | y$. Ma quindi $v_3(x^2+y^2) \equiv_2 0$ ma $v_3(2004)^{2005} \equiv_2 1$ da cui deduciamo che non esistono due quadrati perfetti tali che la loro somma valga $2004^{2005}$.

[Enigmatico]

Che significa $v_3(x^2+y^2) \equiv_2 0$? Comunque, buone le prime due, che ne dici di provare anche il bonus?

[Talete]

Significa che $v_3(x^2+y^2)$ è pari, cioè che l'esponente di $3$ nella fattorizzazione di $x^2+y^2$ è un numero pari, ma $x^2+y^2=2004^{2005}$ e dunque dovresti avere che $2005$ è pari, un po' falsa come tesi.

[Enigmatico]

Ingegnosa questa roba! Ho provato a leggerla sulla dispensa che era stata pubblicata poco tempo fa, ma non ci avevo capito nulla, grazie!

[AlexThirty]

Ma quindi $v_3(x^2+y^2) \equiv_2 0$

Non so se puoi dirlo così per scontato, ok che se elevi al quadrato le potenze di tre diventano pari, ma chi ti dice che sommandole non si aggiunga un altro fattore 3? Forse è meglio che spieghi bene il perchè di questo
Penso che sia per questo che nelle soluzioni ufficiali si usa una specie di discesa infinita

[Giovanni_98]

Allora sia $a=v_3(x)$ e $b=v_3(y)$. Chiaramente se non sono uguali $c=v_3(x^2+y^2)=2 \text{min} \{a,b\}$ e quindi chiaramente $c \equiv_2 0$. Se invece sono uguali ed isolo il fattore $3^{2v_3(a)}$ ho una somma di quadrati entrambi congrui a $1 \pmod 3$ dal momento che i residui quadratici modulo $3$ sono solo $0$ e $1$ da cui $c=v_3(a^2+b^2)=2v_3(a)=2v_3(b)$ e quindi vale ancora $c\equiv_2 0$.

[AlexThirty]

Ok ora va bene! Come puoi vedere come cosa non è scontatissima quindi è meglio specificarla, ora come soluzione è completa

PS nelle ultime due righe non dovrebbe essere [math]v_3(x^2+y^2)?

[Giovanni_98]

Si, chiedo scusa