190. Boh viene dal PEN

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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scambret
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190. Boh viene dal PEN

Messaggio da scambret » 09 ott 2015, 20:32

Sia $p_i$ il $i$-esimo numero primo. Allora per ogni $n \geq 3$ mostrare che

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k^2} + \frac{1}{p_1p_2...p_n} < \frac{1}{2}$$

Ho trovato la soluzione brutale, sono rimasto allucinato da quella "elementare". Spero la troviate ;)

erFuricksen
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Re: 190. Boh viene dal PEN

Messaggio da erFuricksen » 09 ott 2015, 21:49

$\frac{1}{p_1p_2...p_n}$ è fuori dalla sommatoria, giusto?
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

matpro98
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Re: 190. Boh viene dal PEN

Messaggio da matpro98 » 09 ott 2015, 22:13


erFuricksen
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Re: 190. Boh viene dal PEN

Messaggio da erFuricksen » 10 ott 2015, 23:24

Beh la disuguaglianza è bella larga, in realtà io l'ho fatta in un modo abbastanza brutale anche io :) mi dispiace!
Spero sia giusta:
Testo nascosto:
Se $n=3$ posso vedere facilmente che la disuguaglianza è verificata.
Per $n > 3$ invece, per la disuguaglianza di Bonse posso dire che ${1 \over {p_1 ... p_n}} < {1 \over {p_{n+1} ^2}}$, quindi
$$LHS < \sum_{k=1}^{n+1} {1 \over {p_k^2}}$$ quindi mi basterebbe dimostrare che $$S= \sum_{k=1}^{\infty} {1 \over {p_k^2}} \le {1 \over 2}$$
Tuttavia posso scrivere che $S=(\zeta (2)-1)-(\zeta (2)-1-S)$ , ma $\zeta (2)-1-S ={1 \over 4^2}+{1 \over 6^2}+{1 \over 8^2}+{1 \over 9^2}+... > {1 \over 4} (\zeta (2) -1 )$ . Quindi vale che $S=(\zeta (2)-1)-(\zeta (2)-1-S)<{3 \over 4}( \zeta (2)-1)={3 \over 4}({\pi^2 \over 6}-1)< {1 \over 2}$ , perciò $LHS<S<{1 \over 2}$ :)
Ultima modifica di erFuricksen il 11 ott 2015, 08:07, modificato 1 volta in totale.
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

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gpzes
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Re: 190. Boh viene dal PEN

Messaggio da gpzes » 10 ott 2015, 23:42

Beh--allora puoi anche non usare Bonse se usi ZetaRiemann(2) convergente..a parte che Bonse vale per $ n\ge{5}$..

erFuricksen
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Re: 190. Boh viene dal PEN

Messaggio da erFuricksen » 11 ott 2015, 00:01

Si è vero, ma mentre la risolvevo mi è venuto in mente dopo di farlo, e Bonse l'avevo già usato, quindi ho deciso di lasciare tutto così com'era :mrgreen:
E poi mi ha aiutato a rendere i passaggi più chiari

PS: comunque $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 =210>121=11^2$ :wink:
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

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Re: 190. Boh viene dal PEN

Messaggio da gpzes » 11 ott 2015, 00:06

ok.. $n\ge {4}$ nel caso n+1..Ci sarà metodo che non usa convergenza?!? (ossia senza usare Basel Problem?)https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem :wink:
Testo nascosto:
Si :twisted:

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Re: 190. Boh viene dal PEN

Messaggio da scambret » 12 ott 2015, 00:48

Ma soprattutto, si può fare anche senza Riemann?
Testo nascosto:
Risposta: si, ed è molto più istruttiva e anche il motivo per cui ho messo questo problema per la staffetta :twisted: :evil: :lol:

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Re: 190. Boh viene dal PEN

Messaggio da gpzes » 13 ott 2015, 23:51

:lol: Ma sei un Diavolo scambret :twisted: :twisted: :wink: :wink: ...
qua ne sapevo una ma aspettavo quota 500..magari ti dico in MP :wink: :wink: :twisted:

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Re: 190. Boh viene dal PEN

Messaggio da gpzes » 14 ott 2015, 20:07

"Ogni promessa è debito" :lol: :wink:
1° hint:
Testo nascosto:
Vediamo LHS come una successione: ${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\in \mathbb{N}}}=(\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{{{p}_{i}}^{2}}}+\frac{1}{\prod\limits_{i=1}^{n}{{{p}_{i}}}})$.
Cosa si può dire sul sua andamento? È crescente, decrescente, alternante o nested (incapsulata)?

scambret
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Re: 190. Boh viene dal PEN

Messaggio da scambret » 15 ott 2015, 16:34

Comunque dato che qualcuno l'ha risolto, passate anche oltre.

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Re: 190. Boh viene dal PEN

Messaggio da Saro00 » 28 ott 2015, 22:15

Qualcuno che posti il nuovo problema?
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

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