189. Tanto per cambiare, una bella diofantea

[erFuricksen]

Io sono dell'idea che sia bello proporre problemi own nelle staffette, sia perché proporlo ti fa sentire la staffetta più partecipata, sia perché (almeno per quanto riguarda i miei) i problemi proposti sono più attaccabili, quindi è più facile che qualcuno armato di buona volontà abbia voglia di mettercisi e riesca a risolverlo
Detto questo vi propongo il mio problema own:

Determinare tutte le soluzioni per $x, y \in \mathbb{N} $ dell'equazione $$x^5-xy^2+y^2-1=0$$

[scambret]

Lo risolvo perché volevo proporre un problema molto carino di TdN.

L'equazione si fattorizza come $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1-y^2)=0$.

Se $x=1$ la coppia $(1,y)$ risolve sempre.

Se $x$ è diverso da 1 allora

$$y^2=x^4+x^3+x^2+x+1$$

Ora ci accorgiamo che $(2x^2+x)^2=4x^4+4x^3+x^2<4(x^4+x^3+x^2+x+1)=4y^2=(2y)^2$

Ma anche che $(2x^2+x+1)=4x^4+4x^3+5x^2+2x+1 > 4(x^4+x^3+x^2+x+1)=4y^2=(2y)^2$ se $x >4$ poiché la disuguaglianza centrale si riscrive come $x^2-2x-3>0$. Allora se $x>4$ sappiamo che $2x^2+x<2y<2x^2+x+1$, il che è assurdo.

Dunque a manina bisogna fare i casi $x=2$ che non porta soluzioni e $x=3$ che porta $y=11$.

[erFuricksen]

Sì ok, direi che non c'è bisogno di dire che va bene quando l'ho pensato lo avevo pensato perché fosse così