188. Perchè non pari?

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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LucaMac
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188. Perchè non pari?

Messaggio da LucaMac » 08 ott 2015, 17:58

Determinare tutti gli interi positivi $n$ per cui esistono due interi dispari $x,y$ tali che $$ x^2+15y^2 = 2^n $$
[Libera modifica di un esercizio noto]
"And if we want to buy something to drink?"
"Just go to 7-11"
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"Why an inequality?"
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Saro00
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Re: 188. Perchè non pari?

Messaggio da Saro00 » 08 ott 2015, 18:24

Provo
Testo nascosto:
$ 1. $ Guardo la diofantea $ mod $ $ 16 $ (supponendo che $ n>3 $) e ottengo $ x^2 \equiv -15y^2 \equiv y^2 $$ mod $$ 16 $. Quindi $ x^2=y^2+16k $ per un certo $ k \in \mathbb{N} $
$ 2. $ Sostituisco $ x^2=y^2+16k $ nel testo e svolgo i conti e arrivo a $ 2^4y^2+2^5yk+2^8k^2=2^n \iff 2^4(y^2+2yk+2^4k^2)=2^n $. La somma nella parentesi è sempre dispari perchè è somma di 2 numeri pari più un numero dispari ($ y $ è dispari per ipotesi). Quindi per far sì che $ LHS $ Sia una potenza di $ 2 $, $ y^2+2yk+2^4k^2 $ deve essere uguale a $ 1 $.
Quindi $ 2^4(y^2+2yk+2^4k^2)=2^4=2^n $. E verificando, con la coppia $ (x,y)=(1,1) $, si ottiene proprio $ 4 $
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

LucaMac
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Re: 188. Perchè non pari?

Messaggio da LucaMac » 08 ott 2015, 20:41

Hai $x^2=y^2+16k$ non $x=y+16k$ !
Infatti $(x,y)=(7,1)$ porta a $n=6$
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Saro00
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Re: 188. Perchè non pari?

Messaggio da Saro00 » 08 ott 2015, 21:13

Hai ragione, domani riprovo
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

erFuricksen
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Re: 188. Perchè non pari?

Messaggio da erFuricksen » 08 ott 2015, 22:37

Mi dispiace farlo in un modo così brutalmente uguale a quello con cui si risolve il problema di Eulero (col 7 al posto del 15), ma difatti è il modo in cui si risolve :mrgreen:
Testo nascosto:
Guardiamo l'equazione $mod 3$, allora mi accorgo che RHS non è divisibile per 3, quindi non lo può essere neanche LHS, perciò $x^2 \equiv 1[3]$, da cui $2^n \equiv 1[3]$ e quindi $n=2m$. Risolviamo allora l'equazione $x^2+15y^2=4^m$ :
vediamo abbastanza facilmente che per $m=1$ non possono esistere soluzioni, ma che per $m=2$ possiamo avere $x=y=1$.
Abbiamo quindi trovate delle soluzioni $x_0$ e $y_0$ per un certo $m$, vediamo cosa riusciamo a fare per i successivi.
Consideriamo i numeri ${x+y} \over 2$ e ${|x-y|} \over 2$ , abbiamo che ${{x+y} \over 2}+{{|x-y|} \over 2}= \max (x , y)$ e quindi è un numero dispari. Questo ci suggerisce che esattamente uno fra quei due numeri è dispari.
Un discorso analogo vale con i numeri ${x+15y} \over 2$ e ${|x-15y|} \over 2$, quindi esattamente uno di questi due sarà dispari.
Vediamo ora che se ${|x-y|} \over 2$ è dispari allora ${x+y} \over 2$ è pari, quindi $x \equiv -y[4]$, ma $15 \equiv 3[4]$, perciò $x \not\equiv -15[4]$, per cui ${x+15y} \over 2$ è dispari. Posso dire allo stesso modo che se ${x+y} \over 2$ è dispari allora ${|x-15y|} \over 2$ sarà dispari.
Adesso vorremmo dire per induzione che esistono sempre degli $x$ e $y$ per cui vale la relazione se $m>1$ e lo facciamo in questo modo:
Sia ${x_k}^2 + 15{y_k}^2=4^{k}$ una soluzione dell'equazione, allora perché esista una soluzione per $k+1$ devono esistere $x_{k+1}$ e $y_{k+1}$ tali che $4{x_k}^2+60{y_k}^2={x_{k+1}}^2+15{y_{k+1}}^2$ . Allora posso scegliere $x_{k+1}={{|x \pm y|} \over 2}$ in modo che sia quello dispari dei due, di conseguenza sceglierò $y_{k+1}={{|x \pm 15y|} \over 2}$ in modo che sia anch'esso dispari.
Allora in entrambi i casi otterrò $({{x_k +y_k } \over 2})^2+15({{|x_k -15 y_k |} \over 2})^2=({{|x_k -y_k|} \over 2})^2+15({{x_k +15 y_k } \over 2})^2=4{x_k}^2+60{y_k}^2$ , da cui otteniamo quanto avevamo supposto.
Questo vuol dire che esistono soluzioni per tutti gli $n$ pari tali che $n \ge 4$
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

LucaMac
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Re: 188. Perchè non pari?

Messaggio da LucaMac » 09 ott 2015, 09:01

Giusta! :D
Vai pure col prossimo!
Ma adesso vi sfido a trovare una soluzione esplicita!
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Re: 188. Perchè non pari?

Messaggio da gpzes » 09 ott 2015, 13:24

:wink: :wink: per chi non ha fatto stage...
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