Terne/a pitagoriche/a particolari/e

[Nadal21]

Determinare il numero di soluzioni distinte $ (a;b) $, con $ a,b \in \mathbb{N} $, dell'equazione

$ a^2+(a+1)^2=b^2 $

[P.S.: in realtà il mio obiettivo è dimostrare che l'unica soluzione è $ a=3 $ e $ b=5 $, ma non sono riuscito a dimostrare tale risultato, qualcuno mi può aiutare?]

[RiccardoKelso]

Grande massima che ho appreso circa 30 secondi fa, dopo mezz'ora di tentativi falliti: prima di provare a dimostrare che qualcosa è impossibile, prova a farlo. Prova a porre $a=119$.

[LucaMac]

A me pare esistano due famiglie infinite di soluzioni, derivanti da due equazioni di Pell!

[EvaristeG]

Vabbeh, diciamo un po' come...
Hint:

Testo nascosto:

Considerate la ben nota parametrizzazione $u^2-v^2$, $2uv$, $u^2+v^2$ (tanto ci bastano coprimi, vero?) e imponete che i due cateti distino $1$ ... da qui una Pell si intravede, no? E ora? Qualcuno sa/si ricorda come si scrivono le soluzioni di questa/e Pell?

[darkcrystal]

O anche più facilmente,

Testo nascosto:

\[
b^2=a^2+(a+1)^2=2a^2+2a+1=2\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac12 \Rightarrow (2b)^2 = 2(2a+1)^2+2 \Rightarrow x^2-2y^2=2,
\]
dove ora ci interessano le soluzioni con $x$ pari e $y$ dispari: ma è chiaro che $x$ è sempre pari, e si vede facilmente che questo implica $y$ sempre dispari.

[EvaristeG]

Ma io sono filosoficamente contrario alle Pell che non sono uguali a $1$ troppo lavoro.

[mr96]

Io ho visto qualche mese/anno fa una formuletta carina, della quale non conosco/non so fare una dimostrazione, ma che potrebbe tornare utile al problema, visto che ne è praticamente la soluzione La metto in spoiler e chiedo: sono le uniche? Qualche anima buona potrebbe accennare una dimostrazione? Grazie

Testo nascosto:

Posto $ \displaystyle k=\sum_{i=0}^{n-1} \binom{2n-1}{2i}2^{i-1} $, la terna [math](k,k+1,\sqrt{k^2 + (k+1)^2}) è una terna pitagorica. (Infatti con $ n=2,3,4 $ ottieni $ (3,4,5),(20,21,29),(119,120,169) $ e così via)

[RiccardoKelso]

una formuletta carina

Si tratta di una delle formule più belle che io abbia mai visto *-* attendo trepidante qualche pro che la dimostri

[Nadal21]

scusatemi, ma qualcuno potrebbe spiegarmi cos'è l'equazione di pell?

[EvaristeG]

Le equazioni di Pell sono equazioni diofantee (cioè a coefficienti interi, di cui si cercano soluzioni intere) del tipo $x^2-dy^2=\pm 1$ ... per estensione, si chiamano equazioni di Pell (o di tipo Pell o Pell generalizzate) le equazioni $x^2-dy^2=a$.
A seconda di $d$ e di $a$ queste equazioni hanno o non hanno soluzioni ... puoi provare a leggere qui per una scarna introduzione,
qui o il pdf allegato

pelleqn_ddj.pdf

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se sai l'inglese,
qui per un percorso guidato sul legame tra eq di Pell e frazioni continue.
Poi, in vari video di stages senior, medium o advanced, ci sono parti di spiegazione sulle eq. di Pell.
Ed infine, internet è una miniera di informazioni.

[Nadal21]

ok grazie mille!!

[erFuricksen]

Comunque l'equazione di Darkcrystal è una normalissima equazione di Pell uguale a 1, basta dividere per 2 e ottieni

Testo nascosto:

$$2b^2-(2a+1)^2=1$$

[darkcrystal]

@erFuricksen: non esattamente (o, come direbbe qualcuno, "Ni"). E' una Pell "uguale a -1", che è praticamente dello stesso di livello di difficoltà di = 2.

[erFuricksen]

Beh non mi basta considerare tutte le soluzioni a esponente dispari? Difatti nel problema non mi chiede di trovare tutte le soluzioni dell'equazione, ma quante sono, e quello mi basta per dire che sono infinite.
Poi si potrebbe anche dire che quelle sono tutte le soluzioni, ma questa è un'altra storia

[darkcrystal]

Sì, hai ragione, e in effetti quelle di cui parli sono anche tutte le soluzioni (se prendi le potenze dispari della soluzione minimale, e non ti scordi i possibili cambi di segno...). Dicevo solo che la Pell $x^2-dy^2=-1$ non è proprio esattamente la stessa cosa di quella $x^2-dy^2=+1$, ma in effetti le differenze sono abbastanza minime se hai capito come funzionano le cose.
Detto questo, qualcuno ormai potrebbe dimostrare la formula di mr96!