SNS 2015 - 4

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Drago96
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SNS 2015 - 4

Messaggio da Drago96 » 29 ago 2015, 19:00

Siano $n,k$ due interi positivi con $n\ge1$ e $k\ge2$.
Dimostrare che $n^k$ può essere scritto come somma di $n$ interi dispari consecutivi.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

polarized
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Re: SNS 2015 - 4

Messaggio da polarized » 29 ago 2015, 20:01

Pongo $a=n^{k-1}-n+1$, noto che è sempre intero e dispari. La somma di $a$ con gli $n-1$ numeri dispari successivi sarà:
\begin{align}
a+a+2+\dots+a+2n-2=an+2(1+2+\dots+n-1)=(n^{k-1}-n+1)n+n(n-1)=n^k-n^2+n+n^2-n=n^k
\end{align}
Che è la tesi. $\blacksquare$
In geometria tutto con Pitagora, in Algebra tutto con Tartaglia

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jordan
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Re: SNS 2015 - 4

Messaggio da jordan » 29 ago 2015, 20:55

In altre parole, si fa a mano in qualunque modo vi viene in mente!
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Enigmatico
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Re: SNS 2015 - 4

Messaggio da Enigmatico » 01 set 2015, 11:05

Ragazzi, stavo pensando: sarebbe possibile risolvere il problema combinatoriamente? In altre parole: $n^{k}$ è il numero di tutte le possibili funzioni aventi un insieme di partenza di cardinalità $k$ e uno di arrivo di cardinalità $n$ quindi se si riuscisse a trovare un modo per raggruppare queste funzioni in sottoinsiemi di cardinalità $a$ tali che $a$ è un numero dispari compreso tra 1 e n il problema sarebbe risolto... Ora a me non viene in mente nulla, avete qualche idea?
Grazie in anticipo per l'aiuto!

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