Raccolta fondi (Cesenatico 2015)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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mpxavi96
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Raccolta fondi (Cesenatico 2015)

Messaggio da mpxavi96 » 17 ago 2015, 20:20

Luigbnitz è giunto in una regione piena di tubi verdi: per ogni terna di interi compresi tra 0 e 2015, estremi inclusi, c’è un tubo verde contrassegnato dalla terna $ (m,n,a) $. Spesso i tubi verdi contengono monete, e in questo caso c’è una moneta in ogni tubo la cui terna $ (m,n,a) $ soddisfa $ m+n >0 $ e $ n^2 =m^{n/2} +a^2 $. Luigbnitz tira fuori il suo salvadanaio e con somma pazienza si mette a raccogliere tutte le monete. Quante sono?

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Lasker
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Re: Raccolta fondi (Cesenatico 2015)

Messaggio da Lasker » 17 ago 2015, 21:47

Sono stato un tantino brutale e molto poco furbo nello svolgimento, ma spero che la soluzione sia efficace! In sintesi si tratta di fare millemila casi molto semplici.


Allora, $m+n>0$ in pratica ci dice che $m$ ed $n$ non possono annullarsi contemporaneamente, visto che entrambi sono $\geq 0$ per ipotesi (in questo caso ci sarebbe uno $0^0$ al RHS, cosa che non ci farebbe troppo piacere immagino per ambiguità, anche se personalmente l'avrei comunque scartata). Ovviamente $m=0$ ci dà le $2015$ soluzioni in cui $a=b$, supponiamo dunque ora $1\leq m\leq 2015$. Il caso in cui $n=0$ si riduce ad $a^2+1=0$, che non ha soluzioni, quindi anche $1\leq n\leq 2015$. Adesso dividiamo in due casi:
1) $n$ pari: In questo caso scriviamo $n=2k$ e vediamo cosa succede
$$4k^2=m^k+a^2\geq m^k$$
Ma se $m\geq 5$ si ha che
$$m^k+a^2\geq m^k\geq 5^k>4k^2 \ \ \forall \ k\geq 1$$
Il che si vede per induzione, o meglio (essendo una GaS) facendo il grafico alla buona e notando empiricamente che gli esponenziali diventano sempre più ENORMI
Dunque abbiamo $4$ semplici sottocasi, che riusciamo tranquillamente a trattare a mano
1a. Se $m=1$ allora l'equazione diventa
$$4k^2=1+a^2$$
E si vede subito che questa non ha soluzioni (è falsa modulo $4$).

1b. Se $m=2$ allora l'equazione diventa
$$4k^2=2^k+a^2\Rightarrow 4k^2-2^k=a^2$$
Per $k\geq 9$ le cose non funzionano perché il LHS diventa negativo (stesso discorso di prima), quindi abbiamo solo $8$ sotto-sottocasi, che sputano fuori solo la soluzione $(8,0)$, che si traduce in $(16,2,0)$.

1c. Se $m=3$ allora l'equazione diventa
$$4k^2=3^k+a^2\Rightarrow 4k^2-3^k=a^2$$
Per $k\geq 4$ le cose non funzionano perché il LHS diventa negativo (stesso discorso di prima), quindi abbiamo solo $3$ sotto-sottocasi, che sputano fuori le soluzioni $(1,1)$ e $(3,3)$, che si traducono in $(2,3,1)$ e $(6,3,3)$.

1d. Se $m=4$ allora l'equazione diventa
$$4k^2=4^k+a^2\Rightarrow 4k^2-4^k=a^2$$
Per $k\geq 3$ le cose non funzionano perché il LHS diventa negativo (stesso discorso di prima), quindi abbiamo solo $2$ sotto-sottocasi, che sputano fuori le soluzioni $(1,0)$ e $(2,0)$, che si traducono in $(2,4,0)$ e $(4,4,0)$.


2) $n$ dispari: in questo caso chiaramente $m$ deve essere un quadrato perfetto che chiamiamo $m_1^2$ (altrimenti il RHS non sarebbe intero), e l'equazione si risolve più o meno allo stesso modo di prima per disuguaglianze
$$n^2=m_1^{n}+a^2$$
Se $m_1\geq 3$ si ha che
$$m_1^n+a^2\geq m_1^n\geq 3^n>n^2 \ \ \forall \ n\geq 1$$
Dunque ci basta trattare due casi, $m_1=1$ ed $m_1=2$.

2a. Se $m_1=1$ allora l'equazione diventa
$$n^2=a^2+1$$
Che ha come unica soluzione $(1,0)$ ($a^2+1$ è un po' troppo vicino ad un quadrato e si chiude piuttosto facilmente tra quadrati consecutivi), che si traduce in $(1,1,0)$

2b. Se $m_1=2$ allora l'equazione diventa
$$n^2=2^n+a^2$$
Ma se $n\geq 5$ non ci possono essere soluzioni (ancora una volta il RHS cresce troppo), quindi abbiamo $4$ sotto-sottocasi da fare a mano (di cui due con $n$ pari, quindi nulla di fatto :mrgreen: ), la soluzione è $(3,1)$, che si traduce in $(3,4,1)$.

In definitiva le soluzioni dovrebbero essere $2015+7=2022$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

mpxavi96
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Re: Raccolta fondi (Cesenatico 2015)

Messaggio da mpxavi96 » 17 ago 2015, 22:21

Be', niente di più del classico divide et impera :D

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