La prova dell'arco

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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mpxavi96
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La prova dell'arco

Messaggio da mpxavi96 » 15 ago 2015, 19:32

Dopo che i Proci hanno fallito nella prova dell’arco, anche Ellisseo si fa avanti per tentare l’impresa. Il nostro eroe si ricorda il complicato procedimento necessario per (sot)tendere l’arco: il passaggio cruciale consiste nel calcolare
$ (a_{2014}·a_{2013}·a_{2012})/(a_{2006}·a_{2005}·a_{2004}) $, dove $ a_1 = 1, a_2 = 2 $, e per $ n\geq3 $ il numero $ a_n $ è il più piccolo intero maggiore di $ a_{n−1} $ che sia multiplo di $ MCD(a_i,a_j) $ per ogni coppia $ (i, j) $ con $ 1 \leq i < j < n $. Qual è questo numero?

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Ratman98
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Re: La prova dell'arco

Messaggio da Ratman98 » 16 ago 2015, 16:11

Osservo che se $h=8+5k$ per $k$ intero non negativo allora:
$a_{h+1}=a_{h} \times\frac{ 2^{2}}{3}$
$a_{h+2}= a_{h} \times 2$
$a_{h+3}=a_{h}\times 2^{2}$
$a_{h+4}=a_{h}\times 2^{3}$
$a_{h+5}=a_{h}\times 2^{2}\times 3$
Questa cosa si mostra per induzione su $k$ ottenendo il passo base per $k=0$.
Ora noto che $a_{2003}=8+5\times 399$. Quindi posso scrivere la quantità che interessa ad Ellisseo in funzione di $a_{2003}$:
$\frac {a_{2014}a_{2013}a_{2012}}{a_{2006}a_{2005}a_{2004}}= \frac {(a_{2003}2^{4}3^{2}\times \frac{2^2}{3})(a_{2003}2^{4}3^{2})(a_{2003}2^{4}3^{2}\times \frac{2}{3})}{(a_{2003}2^{2})(a_{2003}2)(a_{2003}\frac{2^{2}}{3})}=2^{5}\times 3^{2}=248832$
Ora Ellisseo dovrebbe riuscire a compiere una strage dei Proci in stile "The Expandables".
Ultima modifica di Ratman98 il 17 ago 2015, 09:21, modificato 2 volte in totale.

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Re: La prova dell'arco

Messaggio da mpxavi96 » 16 ago 2015, 17:39

No è sbagliato, non dà così...
Il risultato corretto è 8832

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Re: La prova dell'arco

Messaggio da Ratman98 » 16 ago 2015, 18:16

Allora devo ricontrollare :D .

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Re: La prova dell'arco

Messaggio da Ratman98 » 16 ago 2015, 18:50

Non riesco a trovare l'errore. Gli $a$ scritti in sequenza sono:
$1,2,3,4,6,12,24,36,48,72,144,288...$
Ti trovi?Perché dovrei aver sbagliato qui.

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Re: La prova dell'arco

Messaggio da Nemo » 16 ago 2015, 19:25

Attento a \(a_{h+5}\) e a come scrivi in funzione di \(a_{2003}\) :wink:
Ad ogni modo non ti dovrebbe essere difficile esplicitare direttamente \(a_n\)...

Se non ho sbagliato qualcosa, il risultato corretto è \(12^5=248832\) (senza il vincolo delle cifre)
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Re: La prova dell'arco

Messaggio da Ratman98 » 16 ago 2015, 20:20

Hai perfettamente ragione su tutto. Ora correggo :D .
Volendo esplicitare esattamente $a_n$ ho che:
se $n= 8,9,10,11,12+5k$ , allora $a_n= 12^{k+1}\times 3, 2^2,2\times3,2^2\times3,2^3\times3$
rispettivamente( si dovrebbe capire quel che intendo, scusate la notazione, è per questioni di tempo).
Ultima modifica di Ratman98 il 17 ago 2015, 09:39, modificato 1 volta in totale.

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Re: La prova dell'arco

Messaggio da Nemo » 16 ago 2015, 22:49

...oppure \(\displaystyle a_n=\begin{cases}12^{ \left\lfloor \frac{n-1}{5} \right\rfloor} \cdot n(\textrm{mod }5) \quad & 5 \nmid n \\ 12^{ \left\lfloor \frac{n-1}{5} \right\rfloor}\cdot 6 & 5 \mid n \end{cases} \qquad \) con \(n \in \mathbb{Z}^+\) :D
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Re: La prova dell'arco

Messaggio da Ratman98 » 17 ago 2015, 09:46

Se le parentesi quadre impongono di prendere solo la parte intera, mi trovo con quanto hai scritto. E' un modo di scrivere $a_n$ più comodo del mio.Grazie :D .

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