Divisibilità con parametro

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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AlexThirty
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Divisibilità con parametro

Messaggio da AlexThirty » 14 ago 2015, 20:01

Diciamo che questa è un po una domanda di teoria perchè questo è parte di un esercizio.
Per quali $ k $ , si ha che $ 12k-1|9k^2+33k+30 $
Qualcuno sa darmi un qualche hint, o magari un video di teoria del senior a cui guardare?
Un bresciano esportato nel cremonese

-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.

Talete
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Re: Divisibilità con parametro

Messaggio da Talete » 14 ago 2015, 22:02

Hmm... il problema noto C1-10 del Senior? A occhio pare quello... ;)

Comunque:

$12k-1$ di sicuro è coprimo con $12$.

Dunque $12k-1$ divide $9k^2+33k+30$ se e solo se divide $3k^2+11k+10$, e se divide quest'ultimo allora divide anche $12k^2+44k+40$.

Ora, $12k-1$ divide certamente $12k^2-k$ (ovvio?).

Dunque, è ben noto che se $d\mid a$ e $d\mid b$, allora $d\mid a+b$ e $d\mid a-b$ (in realtà, $d\mid ha+kb$ per $h$ e $k$ interi, ma vabbè). Questo lo chiamo "quasi-lemma" perché non è proprio un lemma, diciamo una proprietà.

Applico il quasi-lemma per dire che $12k-1$ deve dividere anche $45k+40$. Ora, se divide $45k+40$ allora divide anche $180k+160$.

Inoltre, $12k-1$ divide certamente $180k-15$.

Uso il quasi-lemma e dico che $12k-1$ divide certamente $175$.

I divisori di $175$ sono tanti (ben sei!): $1$, $5$, $7$, $25$, $35$ e poi be' $175$: tra questi l'unico che produce un $k$ intero è $35$: da cui $k=3$ e $N=6$ ;)

Edit. Questo non era un hint, ma la soluzione. Vabbè leggiti questa e poi fatti una roba tipo IMO '59/1, se non l'hai già fatto.
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