Una domanda fumosa (Cesenatico 2013)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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mpxavi96
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Una domanda fumosa (Cesenatico 2013)

Messaggio da mpxavi96 » 14 ago 2015, 16:58

Una parte del fungo del Brucaritmo ha il potere di ingrandire la gente, l’altra di farla rimpicciolire. Radice vorrebbe prendere qualche pezzo dal fungo, ma può farlo solo risolvendo l’indovinello che il Brucaritmo le propone: ”In tutta la mia lunga vita ho creato moltissimi anelli di fumo con la mia pipa e ne ho sempre tenuto il conto. Ti posso dire che il loro numero è un multiplo di 11 e che (in base 10) è formato da tanti numeri di 2 cifre consecutivi affiancati, a partire dal 10 (come per esempio 10, 1011, 101112, 10111213, . . . ). Sapendo solo queste informazioni, quanti sono i possibili numeri di anelli di fumo che posso aver fatto?”

matpro98
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Re: Una domanda fumosa (Cesenatico 2013)

Messaggio da matpro98 » 14 ago 2015, 18:19

Osservando cosa succede $\pmod{11}$ ci si accorge di questa caratteristica: quando si "aggiunge" in coda al numero $x$ il numero $y$ è come se si aggiungesse veramente, in termini di congruenze, infatti si passa da $x$ a $100x+y \equiv x+y \pmod{11}$.
Partendo da 10, allora, l'incremento in termini di congruenze aumenta di una unità ad ogni mossa, cioè si ha +0, +1, +2, ...
Il primo multiplo di 11 si ha con 101112, e servirebbe che la quantità $2+3+ \dots +n$ sia multipla di 11 (partendo da 2 perchè corrisponde alla mossa tra 12 e 13). In altri termini, si ha $\frac{n(n+1)}{2}-1 \equiv 0$; $n^2+n-2 \equiv 0$.
A questo punto, compilando una tabella, si nota che gli $n$ favorevoli sono $n \equiv 1,9 \pmod{11}$, e contandoli sono $16$.
Risposta: $0016$

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