Una domanda fumosa (Cesenatico 2013)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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matpro98
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Re: Una domanda fumosa (Cesenatico 2013)

Messaggio da matpro98 » 14 ago 2015, 18:19

Osservando cosa succede $\pmod{11}$ ci si accorge di questa caratteristica: quando si "aggiunge" in coda al numero $x$ il numero $y$ è come se si aggiungesse veramente, in termini di congruenze, infatti si passa da $x$ a $100x+y \equiv x+y \pmod{11}$.
Partendo da 10, allora, l'incremento in termini di congruenze aumenta di una unità ad ogni mossa, cioè si ha +0, +1, +2, ...
Il primo multiplo di 11 si ha con 101112, e servirebbe che la quantità $2+3+ \dots +n$ sia multipla di 11 (partendo da 2 perchè corrisponde alla mossa tra 12 e 13). In altri termini, si ha $\frac{n(n+1)}{2}-1 \equiv 0$; $n^2+n-2 \equiv 0$.
A questo punto, compilando una tabella, si nota che gli $n$ favorevoli sono $n \equiv 1,9 \pmod{11}$, e contandoli sono $16$.
Risposta: $0016$

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