Diofantea facile

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Euler271
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Diofantea facile

Messaggio da Euler271 » 13 ago 2015, 16:32

Determinare i naturali $ m n $ tali che
$ 5^{m} - 2^{n} = 1 $
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
$ 1 + \frac {1}{2^{2}} + \frac {1}{3^{2}} + . . . = \frac {\pi^{2}}{6} $

polarized
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Re: Diofantea facile

Messaggio da polarized » 13 ago 2015, 16:51

Osservo che $(1,2)$ è una soluzione, ora pongo $n\ge3$ e analizzo $mod 8$.
Devo avere che $5^m\equiv 1 \pmod{8}$ e ciò si ha (basta provare) solo quando $m$ è pari, quindi pongo $m=2h$
Riscrivo tutto come $2^n=5^2h -1= (5^h+1)(5^h-1)$. Ho però che il MCD tra i due fattori di destra è $2$ e poichè entrambi devono essere delle potenze di due l'unico caso in cui la differenza di due potenze di due è 2 è con $4$ e $2$ che però non porta a soluzioni.
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Euler271
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Re: Diofantea facile

Messaggio da Euler271 » 13 ago 2015, 17:38

Io l'ho risolto così: scrivo l'equazione come
$ 5^{m} = 1 + 2^{n} $
Sviluppo LHS e ottengo
$ 5^{m} = (4 + 1)^{m} = 4^{m} - 4^{m - 1} + . . . - 4 +1 $
Quindi si ha che
$ 4^{m} - 4^{m - 1} + . . . - 4 + 1 = 1 + 2^{n} $
Da cui
$ 4^{m} - 4^{m - 1} + . . . - 4 = 2^{n} $
Osservando il LHS ci si accorge che la massima potenza di 2 che lo divide è 4 e quindi 4 deve essere la massima potenza di 2 che divide anche $ 2^{n} $
Quindi si può scrivere che $ 2^{n} = 4 \rightarrow n = 2 $
Da cui, sostituendo nell equazione di partenza, deduciamo che $ m = 1 $.
L'unica soluzione è pertanto $ m = 1, n = 2 $
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
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Re: Diofantea facile

Messaggio da EvaristeG » 13 ago 2015, 17:57

Euler271 ha scritto: $ 5^{m} = (4 + 1)^{m} = 4^{m} - 4^{m - 1} + . . . - 4 +1 $
:?:

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Re: Diofantea facile

Messaggio da Euler271 » 16 ago 2015, 14:04

Diamine che erroraccio mi scuso della svista :shock:
Evidentemente $ (4 + 1)^{m} = 4^{m} + . . . + m 4 + 1 $
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
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polarized
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Re: Diofantea facile

Messaggio da polarized » 17 ago 2015, 11:37

Eh ma devi tenere conto del binomio di Newton (se lo hai fatto non é molto chiaro da come lo hai scritto)...
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