Cesenatico, problema del 2012

[AlexThirty]

Proviamo dai...
Innanzitutto sappiamo che la somma delle cifre di $ ABCD $ deve fare $ 7 $, dato che rappresenta con quale frequenza ci sono i vari tipi di sfere del drago.
Un numero in base 4 con $ 7 $ cifre è sicuramente $ \geq 4^6=4096 $, ma allora siccome la somma delle sue cifre deve essere al massimo $ 7 $, può avere come prima cifra in base 4 solo l'$ 1 $ (infatti se fosse del tipo $ 2xxxxxx $ sarebbe come minimo $ 8192 $, e con prima cifra 3 sarebbe di cinque cifre in base 10).
Quindi in base quattro è un numero della forma $ 1xxxxxx $ dove tra le $ x $ ci sono quattro o cinque zeri, e la sua scrittura in base 10 ha $ A=4,5 $ e $ B\geq 1 $ (non puo avere 6 zeri, perchè altrimenti vorrebbe dire che il numero in base 4 sarebbe $ 1000000 $ e in base 10 $ 6001 $, che non corrispondono ovviamente).
Il caso $ A=5 $ si elimina facilmente, in quanto abbiamo 5 sfere con scritto 0, una con scritto 1 e una indefinita, ma siccome serve una potenza abbastanza alta per passare da $ 4096 $ a uno maggiore di $ 5000 $ (almeno $ 4^3 $), possiamo escludere che il numero sia dispari, infatti l'ultima sfera di cui trovare il numero sarebbe nella posizione $ 4^0 $, che però non può farci raggiungere $ 5000 $.
L'unica possibilità di un numero pari con somma delle cifre $ 7 $, con $ A=5 $ e $ B\geq 1 $ è $ 5002 $ che però in base 4 si scrive come $ 1032022 $, quindi $ A=4 $ per forza.

Ora sappiamo anche che però tale numero nella forma $ ACDB $ è sicuramente maggiore di $ 4096 $, consideriamo quindi il numero da cercare nella forma $ ACDB $, che avrà $ A=4 $, $ B\geq 1 $, e che sia maggiore di $ 4096 $.
Le uniche possibilità ( sempre con la somma delle cifre uguale a 7) sono: $ 4102, \ 4201, \ 4111 $, ma scrivendole in base 4 si nota che solo una va bene:
$ 4102=1000012 $ che effettivamente funziona
$ 4201=1001221 $ che non funziona
$ 4111=1000033 $ che non funziona.
Ora vediamo se anche scritto nella forma $ ACBD $ $ 4102 $, funziona
$ 4120=1000120 $ che funziona ancora. Da cui $ A=4, B=2, C=1, D=0 $, il numero è quindi $ 4210 $.

Sono stato molto lungo a descrivere, ma con un ragionamentino e 4 prove numeriche ci arrivi molto bene