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Risposta parziale

Passo ai logaritmi $ x^2 log(y) = (y+2) log(x) $ da cui l'espressione iniziale (elevando entrambi i termini a log(y) e sostituendo) diventa $ y^{(y+2) log(x)} = x^{(y+2) log(y)} $ ed estraendo la radice di indice y+2 si ottiene $ y^{log(x)} =x^{log(y)} $. A questo punto scopiazzo la tattica già vista per $ x^y=y^x $: wlog prendo $ x \geq y \implies log(x) \geq log(y) $. Divido per $ y^{log(y)} $. La differenza fra logaritmi che ottendo a esponente a membro sinistro si può riscrivere come logaritmo di un rapporto per proprietà dei logaritmi. Perciò, posto k=x/y, si ha $ k^{log(y)} = y^{log(k)} $ con $ k \in \mathbb{Q^+} $. A tal punto dimostro che k in realtà deve essere intero positivo: estraggo la radice log(k) e ottengo $ y = k^{\frac{log(y)}{log(k)}} $, ma $ \mathbb{Z^+} $ indi per cui, escludendo le frazioni 1/z perché k>1 per Hp, l'unica possibilità è $ \mathbb{Z^+} $. Ora torno all'equazione di partenza forte di x = ky con k, y, x interi e sostituisco ottenendo $ y^{(ky)^2} = (ky)^{y+2} $. Casi per k:
k=1 => $ y^{y^2} = y^{y+2} $. Passo agli esponenti e trovo (2, 2), mentre ponendo y=1 ho facilmente un'identità per qualsiasi esponente (1, 1).

Considero il caso generico y=1 che mi riconferma la sola (1,1). Ora il mio problema è dimostrare che per $ k, y \geq 2 $ non ci sono soluzioni. Ho tentato con $ y^{(ky)^2} \geq y * (ky)^2 $, però non è abbastanza forte da concludere perché $ y > (ky)^y $ chiaramente non regge poi... Ora rileggo la cosa dei primi di wall98, magari si semplifica tutto. Naturalmente qualche disuguaglianza a me ignorante non nota è molto apprezzata comunque . L'idea dell'induzione dovrebbe funzionare in ogni caso; il calcolo della differenza fra lato sinistro e destro mostra che si distanziano sempre di più..

EDIT provo così: ricordo che $ n^2 \geq 2n $ per $ n \geq 2 $ e $ x^y \geq xy $ per $ x,y \geq 2 $ (vero per y=2, poi induzione su y)
$ y^{k^2y^2} \geq (k^2y)^{y^2} = k^{y^2} (ky)^{y^2} \geq k^{y^2} (ky)^2 (ky)^y > (ky)^{y+2} $Tesi

Ma visto che si parla di equazione diofantea e siamo nel sottoforum di TdN... che c'entrino i fattori primi?

Chiaramente $ x,y $ hanno gli stessi fattori primi . Osserviamo che $ (1,1) $ é soluzione .
Poniamo ora $ x,y \ge 2 $ .
Dobbiamo avere ora che per ogni primo $ p $ nella fattorizzazione di $ x $ e $ y $ :
$ p^{x^2}=p^{y+2} $ e dunque $ x^2=y+2 $ .
Supponiamo ora che un primo $ q $ maggiore di $ 2 $ divida $ x $ e $ y $ : allora avremmo che
$ x^2 \equiv 0 \equiv 0+2 \equiv 2 \ \ mod(q) $ il che é assurdo .
Dunque $ x,y $ sono potenze di due , e si verifica facilmente che le uniche potenze di due che soddisfano $ x^2=y+2 $ sono $ (2;2) $ .
Concludiamo dunque che le uniche soluzioni sono $ (1;1) $ e $ (2;2) $