182. divisibilità simmetriche

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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182. divisibilità simmetriche

Messaggio da jordan » 19 lug 2015, 22:05

Trovare tutti i primi $p,q$ tali che $p^2+1\mid 2003^q+1$ e $q^2+1\mid 2003^p+1$.
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AlexThirty
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Re: 182. divisibilità simmetriche

Messaggio da AlexThirty » 20 lug 2015, 19:25

Il problema ha come unica soluzione $ (p,q)=(2,2) $?
Un bresciano esportato nel cremonese

-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.

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Troleito br00tal
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Re: 182. divisibilità simmetriche

Messaggio da Troleito br00tal » 20 lug 2015, 20:27

Se wlog $p=2$ allora ci basta $q^2+1|2003^2+1$ da cui (con Wolfram Alpha :P) $q=2,3,2003$.

Supponiamo $p \le q$ dispari.

Sia $r$ un primo che divide $p^2+1$. Allora $r|2004 \cdot \frac{2003^q+1}{2004}$, da cui $r=2,3,167$ oppure $q|r-1$ (poiché $ord_r(2003)|2q$). Chiaramente $r \not = 3,167$, poiché $r|p^2+1$. Perciò $r=2$ o $q|r-1$. Inoltre $v_2(p^2+1)=1$, perciò $p^2+1=2r_1...r_m$. Ma $r_i \ge q+1 \ge p+1$, quindi $p^2+1 \ge 2(p+1)^m$, da cui $m=0$ (assurdo) o $m=1$. Pericò $p^2+1=2r$, dove $r$ è primo e $q|r-1$.

Ma allora $q|2r-2=p^2-1$, da cui $q|p-1$ (assurdo, poiché $q>p-1$) o $q|p+1$, ma $2|p+1$, quindi $q|\frac{p+1}{2}$, da cui $\frac{p+1}{2} \ge q \ge p \rightarrow p \le 1$: assurdo. Perciò vanno bene solo $(2,2);(2,3);(2,2003)$.

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gpzes
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Re: 182. divisibilità simmetriche

Messaggio da gpzes » 20 lug 2015, 21:48

:oops: ... $(p,q)=(2,3);(2,2003)$..non soddisfano $5/2003^q+1$...forse ho letto male.si intende che $p$ è sempre 2 :oops: ?!?

@jordan Già non sono capace ma qui Non mi fai dormire!! :evil: :wink:

Ma questi problemi mi ricordano anche l'ultimo IMO 2015 Pb. 2...qualcuno dice che sono tecniche standard ma sinceramente sono ignorante :oops: :oops:
Vedo sempre che si cerca di limitare il range di qualche variabile...ma non c'è una teoria generale ??
http://artofproblemsolving.com/communit ... f_integers

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Troleito br00tal
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Re: 182. divisibilità simmetriche

Messaggio da Troleito br00tal » 21 lug 2015, 01:48

gpzes ha scritto::oops: ... $(p,q)=(2,3);(2,2003)$..non soddisfano $5/2003^q+1$...forse ho letto male.si intende che $p$ è sempre 2 :oops: ?!?

@jordan Già non sono capace ma qui Non mi fai dormire!! :evil: :wink:

Ma questi problemi mi ricordano anche l'ultimo IMO 2015 Pb. 2...qualcuno dice che sono tecniche standard ma sinceramente sono ignorante :oops: :oops:
Vedo sempre che si cerca di limitare il range di qualche variabile...ma non c'è una teoria generale ??
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Hai ragione! Effettivamente $5$ non divide $2003^p+1$ in quel caso :)

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