L'attimo fuggente (Cesenatico 2007)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Enigmatico
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Re: L'attimo fuggente (Cesenatico 2007)

Messaggio da Enigmatico » 20 lug 2015, 17:24

Provo...

Si consideri una serie di almeno cinque elementi:
siano $a\geq k>4$ tre interi positivi tali che $k|a, k-1|a+1, ..., k-4|a+4 \Rightarrow k|a+k, k-1|a+1+k-1=a+k, ..., k-4|a+k \Rightarrow \frac{k!}{(k-5)! \cdot 3^{z}\cdot 2^{l}}|a+k$ con $0<l<4,0 \leq z \leq 1$ dipendenti da $k$. Difatti data la lunghezza della serie saranno sicuramente presenti $1$ o $2$ multipli di $3$ e $2$ o $3$ multipli di $2$ a seconda di $k$:
VARIAZIONE DI $l$:
- $k\equiv 2(mod8) \vee k\equiv 6 (mod8) \vee k\equiv 0 (mod8)\Rightarrow l=2$
- $k \equiv 4 (mod8) \Rightarrow l=3$
VARIAZIONE DI $z$
- $k \equiv 2 (mod3) \Rightarrow z=0$
- $k \equiv 0 (mod3) \vee k\equiv 1 (mod3) \Rightarrow z=1$
Si considerino le serie per i primi valori di $k$:
- $k=5\Rightarrow 60|a_{5}+5$
- $k=6 \Rightarrow 60|a_{6}+6$
- $k=7 \Rightarrow 420|a_{7}+7$
- $k=8 \Rightarrow 1680|a_{8}+8$
- $k=9 \Rightarrow 2520|a_{9}+9$
- e così via con valori sempre maggiori o uguali a $2520$ all'aumentare di $k$

Ora, proseguendo a tentativi sui primi tre numeri, si ha che, affinché $a_{i}$ sia il più possibile vicina a $2007$, i valori assumibili sono $a_{5}=2035, a_{6}=2034, a_{7}=2093$.
Pertanto la risposta è $2034$.

P.S.: ragazzi, vi prego correggetemi la stesura che fa pena, ma non so come esprimerla diversamente...

DokBar
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Re: L'attimo fuggente (Cesenatico 2007)

Messaggio da DokBar » 21 lug 2015, 10:35

Carissimi,

Mi scuso per la mia soluzione ignorante, ma vorrei mettermi alla prova con questo "indovinello matematico".

Partendo da 2007, sappiamo che è divisibile per 9
2008 è divisibile per 8
2009 è divisibile per 7
2010 è divisibile per 6.

Di conseguenza, se ad i numeri precedenti vi sommiamo il prodotto tra 6, 7, 8 e 9 (vale a dire 3024), troviamo che
2006 + 3024 è divisibile per 10
2007 + 3024 è divisibile per 9
2008 + 3024 è divisibile per 8
2009 + 3024 è divisibile per 7
2010 + 3024 è divisibile per 6
2011 + 3024 è divisibile per 5
2012 + 3024 è divisibile per 4
2013 + 3024 è divisibile per 3
2014 + 3024 è divisibile per 2
2015 + 3024 forse non è divisibile per 1 :D

Spero di non avervi annoiato con la mia risposta ignorante :D

Vi saluto.

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