Funzionale con divisibilità

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Federico II
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Funzionale con divisibilità

Messaggio da Federico II » 03 lug 2015, 15:37

Determinare tutte le funzioni $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z^+}$ tali che
$$f\left(m-n\right)\mid f\left(m\right)-f\left(n\right)$$
per ogni coppia di naturali $m,n$ tali che $m\geq n$.
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Simone97
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Re: Funzionale con divisibilità

Messaggio da Simone97 » 09 set 2015, 18:00

Sia $ n=0 $. L'equazione diventa $ f(m) | f(m)-f(0) $. Essendo $ f $ definita positiva, $ f(m) | f(m)-f(0)<f(m) $, perciò $ f(m)-f(0)=0 $ per ogni $ m $. Questo implica $ f(m) $ costante, che effettivamente risolve l'equazione.
Giusto? :D

EvaristeG
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Re: Funzionale con divisibilità

Messaggio da EvaristeG » 09 set 2015, 18:22

$2$ divide $-4$ anche se $-4<2$ ...

erFuricksen
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Re: Funzionale con divisibilità

Messaggio da erFuricksen » 16 set 2015, 14:01

Ok ci sono stato un po' e ho constatato che è una funzione che tendenzialmente potrebbe essere brutta a piacere...
Quindi farò un po' di considerazioni sperando che qualcuno ne possa tirare fuori qualcosa, o magari dare qualche spunto:

- Se prendo $P(n,0)$ ottengo $f(n) \mid f(n)-f(0)$ e quindi $f(n) \mid f(0)$
Questo vuol dire che per $k=0$ sappiamo che $f(n) \mid f(kn)$ , per induzione allora possiamo vedere che per $P((k+1)n,kn)$ :
$f(n) \mid f((k+1)n)-f(kn)$ , ma per il passo base $f(n) \mid f(kn)$ , quindi $f(n) \mid f((k+1)n)$.
Da qui abbiamo ricavato che $f(n) \mid f(kn)$ per ogni $n$ e $k$ , quindi, siccome l'insieme delle immagini è sottoinsieme degli interi positivi nessun valore della funzione può essere 0, quindi possiamo vedere prendendo $k=0$ che $f(0)$ è il massimo della funzione e prendendo $n=1$ che $f(1)$ è il minimo; in pratica
$f(1) \le f(n) \le f(0)$

- Poi si può dire (ma non ho voglia di scrivere come, solo se dovesse servire) che esistono infiniti valori di $n$ per cui la funzione assume il minimo, quindi per cui $f(n)=f(1)$
Inoltre, se conosciamo uno di questi valori $s$ allora anche tutti i suoi divisori $d$ saranno tali per cui $f(d)=f(1)$

- Gli unici modi per far comparire $f(0)$ nella relazione di divisibilità sono con $P(n,0)$ e $P(n,n)$ ; il primo lo abbiamo già usato, mentre il secondo non ci porta d nessuna parte, infatti ricaviamo che $f(0) \mid 0$ (inutile). Questo significa che l'unico dato che abbiamo e possiamo avere su $f(0)$ è che è il massimo della funzione, ma poi non sappiamo che tipo di massimo.. cioè, $f(0)$ potrebbe essere il prodotto di tutti i possibili valori di $f$ negli altri punti (che dal primo punto abbiamo constatato essere un insieme finito), oppure potrebbe essere un multiplo di questo valore senza compromettere le ipotesi; questo ci dice che la funzione è potenzialmente brutta a piacere...

Non sono riuscito a cavar fuori molto altro, qualcuno ha qualche idea?
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

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Federico II
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Re: Funzionale con divisibilità

Messaggio da Federico II » 16 set 2015, 17:37

Quello che dici è giusto, le prime idee ci sono, ma la soluzione è ancora lontana...
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gpzes
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Re: Funzionale con divisibilità

Messaggio da gpzes » 16 set 2015, 22:38

Rispondo come sull'altro forum :wink: ...

$\begin{align}
& f(m)=f(2m-m)|f(2m)-f(m)\Rightarrow f(m)|f(2m) \\
& f(m)=f(3m-2m)|f(3m)-f(2m)\Rightarrow f(m)|f(3m) \\
& ....\Rightarrow f(m)|f(k\cdot m),\forall k\ge 1,\forall m\in \mathbb{N}. \\
\end{align}$
Ma allora, posto m=1, $f(1)|f(k),\forall k\ge 1$ . Inoltre $f(1)=f(1-0)|f(1)-f(0)\Rightarrow f(1)|f(0)$ .
Quindi $f(1)|f(m),\forall m\ge 0$. (*)
D’altra parte, $f(m)=f(m-0)|f(m)-f(0)\Rightarrow f(m)|f(0),\forall m\ge 0$. (**)
Detto $A=\left\{ f(m):m\in \mathbb{N} \right\}\subseteq {{\mathbb{Z}}^{+}}$ , si ha che esiste elemento minimo per Principio del Buon Ordinamento (per essere proprio formali ;)).
Per (*) si ha che $\min A=f(1)$ . Inoltre, per (**), si ha che $f(1)\le f(m)\le f(0),\forall m\in \mathbb{N}$.
Quindi, fissati $f(1),f(0)=\lambda \cdot f(1)$ , si ha che $\operatorname{Im}f$ è sottoinsieme limitato di ${{\mathbb{Z}}^{+}}$ costituito da elementi multipli di $f(1)$.

Quindi la/le funzioni.troppo brutte non possono essere...ci si può sbizzarrire nel tentare di descriverle, tenendo conto di quanto provato, ma un'indeterminazione rimane sempre una volta fissato $f(1)$. Qualcuno ha provato a descriverle ma in sintesi ha assunto sempre la proprietà che $f(0)=\lambda \cdot f(1)$.

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Federico II
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Re: Funzionale con divisibilità

Messaggio da Federico II » 29 set 2015, 15:26

Passi avanti, ma ancora mancano le idee chiave...
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