Creo la terna (a, b, c). Essa si trasforma così (a-1, b-1, c+2), con simmetria sulle lettere. La somma a+b+c è quindi invariante. Inoltre sono costanti le congruenze delle differenza fra due lettere qualsiasi (per esempio a-b=a'-b' o c-a=c-a+3). Allora se l'obiettivo è ottenere la terna (a meno di permutazioni) (0, 0 a+b+c) si avrà a sistema:
$ a-b\equiv 0 \bmod{3} \bigstar c-a\equiv a+b+c \bmod{3} \bigstar c-b\equiv a+b+c \bmod{3} $, che sono tutte equivalenti a $ a\equiv b \bmod{3} $. D'altra parte posso indicare un percorso che porta alla situazione desiderata.
Considero (3k+v, 3h+v, 3j+w) con, senza perdita di generalità, $ k \leq h $. Tolgo 3k+v da a e b $ \rightarrow $ (0, 3(h-k), 3(j+2k)+2v+w). Tolgo h-k da b e c $ \rightarrow $ (2(h-k), 2(h-k), 3j+7k-h+2v+w). Tolgo 2(h-k) da a e b $ \rightarrow $ (0, 0, 3k+3h+3j+2v+w). L'unica Hp è stata che due valori sono congrui mod 3 e il terzo diventa necessariamente l'unico. Se tutti e tre sono congrui mod3 naturalmente tutti e tre possono diventare l'unico colore presente. Per cui l'unica condizione secondo me è che due dei tre valori a b c siano congrui mod3. $ 13 \equiv 1 \bmod{3}, 15 \equiv 0 \bmod{3}, 17 \equiv -1 \bmod{3} $, da cui la monocromia è impossibile. è tuttavia possibile ridurre i colori restanti a 2 (è sufficiente togliere tutti quelli del colore minore).
Scusate il lungo pippotto, ma questa è la soluzione del libro:
(a, b, c) will be transformed into one of the three triples (a + 2, b − 1, c − 1),
(a − 1, b + 2, c − 1), (a − 1, b − 1, c + 2). In each case, I $ \equiv $ a − b mod 3 is
an invariant. But b − c $ \equiv $ 0 mod 3 and a − c $ \equiv $ 0 mod 3 are also invariant. So
I $ \equiv $ 0 mod 3 combined with a + b + c $ \equiv $ 0 mod 3 is the condition for reaching a
monochromatic state.
Ho controesempi per quella parte in grassetto
ì