Dubbio su problema con gli invarianti dell'Engel

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Whov
Messaggi: 23
Iscritto il: 20 ago 2014, 12:40

Dubbio su problema con gli invarianti dell'Engel

Messaggio da Whov » 16 giu 2015, 20:49

Forse la copia che ho del libro è un po'vecchia e il problema è stato corretto, oppure ho cannato un po' :lol:
Ci sono a chip bianchi, b neri e c rossi su un tavolo. In una mossa puoi scegliere due chip di colori diversi e rimpiazzarli ognuno con un chip del terzo colore. Trova le condizioni affinché tutti i chip diventino dello stesso colore. Supponi di avere inizialmente 13 bianchi, 15 neri e 17 rossi. E possibile ottenere la monocromia? Quali stati si possono raggiungere con questi valori?
La soluzione nel libro mi è sembrata spiccia (nel senso che si fanno molte domande e si danno poche risposte) e forse con una punta di errore. Questa è la mia risposta
Testo nascosto:
Creo la terna (a, b, c). Essa si trasforma così (a-1, b-1, c+2), con simmetria sulle lettere. La somma a+b+c è quindi invariante. Inoltre sono costanti le congruenze delle differenza fra due lettere qualsiasi (per esempio a-b=a'-b' o c-a=c-a+3). Allora se l'obiettivo è ottenere la terna (a meno di permutazioni) (0, 0 a+b+c) si avrà a sistema:
$ a-b\equiv 0 \bmod{3} \bigstar c-a\equiv a+b+c \bmod{3} \bigstar c-b\equiv a+b+c \bmod{3} $, che sono tutte equivalenti a $ a\equiv b \bmod{3} $. D'altra parte posso indicare un percorso che porta alla situazione desiderata.
Considero (3k+v, 3h+v, 3j+w) con, senza perdita di generalità, $ k \leq h $. Tolgo 3k+v da a e b $ \rightarrow $ (0, 3(h-k), 3(j+2k)+2v+w). Tolgo h-k da b e c $ \rightarrow $ (2(h-k), 2(h-k), 3j+7k-h+2v+w). Tolgo 2(h-k) da a e b $ \rightarrow $ (0, 0, 3k+3h+3j+2v+w). L'unica Hp è stata che due valori sono congrui mod 3 e il terzo diventa necessariamente l'unico. Se tutti e tre sono congrui mod3 naturalmente tutti e tre possono diventare l'unico colore presente. Per cui l'unica condizione secondo me è che due dei tre valori a b c siano congrui mod3. $ 13 \equiv 1 \bmod{3}, 15 \equiv 0 \bmod{3}, 17 \equiv -1 \bmod{3} $, da cui la monocromia è impossibile. è tuttavia possibile ridurre i colori restanti a 2 (è sufficiente togliere tutti quelli del colore minore).

Scusate il lungo pippotto, ma questa è la soluzione del libro:
(a, b, c) will be transformed into one of the three triples (a + 2, b − 1, c − 1),
(a − 1, b + 2, c − 1), (a − 1, b − 1, c + 2). In each case, I $ \equiv $ a − b mod 3 is
an invariant. But b − c $ \equiv $ 0 mod 3 and a − c $ \equiv $ 0 mod 3 are also invariant. So
I $ \equiv $ 0 mod 3 combined with a + b + c $ \equiv $ 0 mod 3 is the condition for reaching a
monochromatic state.
Ho controesempi per quella parte in grassetto
Ciao!

Talete
Messaggi: 744
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: Dubbio su problema con gli invarianti dell'Engel

Messaggio da Talete » 16 giu 2015, 23:29

Io pensavo che gli invarianti fossero roba di combinatoria, e non di teoria dei numeri... anche se ci sono tutte quelle robe modulo $3$, credo che sia più adatto postarlo nell'altra sezione ;)

Comunque, lì c'è scritto "...$I\equiv0 \pmod{3}$ combined with $a+b+c\equiv0\pmod{3}$ is the condition..." quindi intende che si deve avere $a\equiv b$ (il suo $I$ era $a-b$) e la somma congrua a $3$. Tu hai evidenziato solo la somma, e chiaramente così non va. Considera $(0,1,2)$: la somma è multipla di $3$ ma a meno di permutazioni da $(0,1,2)$ puoi arrivare solo a $(0,1,2)$! :)ì
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Whov
Messaggi: 23
Iscritto il: 20 ago 2014, 12:40

Re: Dubbio su problema con gli invarianti dell'Engel

Messaggio da Whov » 17 giu 2015, 10:41

Mi sono espresso male, scusami.
Intendevo dire che a+b+c=0 mod3 non è necessario (non che è l'unica condizione, al contrario!). Per esempio (3, 6, 7)->(0, 3, 13)->(2, 2, 12)->(0, 0, 16) però 3+6+7=1 mod(3). Difatti nella mia soluzione io indico come una condizione
Per cui l'unica condizione secondo me è che due dei tre valori a b c siano congrui mod3
naturalmente fra 0, 1, 2 non ci sono coppie congruenti mod 3, quindi è previsto che non funzioni :wink: .
Sbaglio? Grazie intanto!
ps: Ah, come sposto la discussione (infatti pensavo proprio a quei moduli, gli invarianti li ho visti come un po'trasversali e quindi non li ho considerati per scegliere)

Talete
Messaggi: 744
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: Dubbio su problema con gli invarianti dell'Engel

Messaggio da Talete » 17 giu 2015, 21:30

no, vabbè, ho capito male io... comunque hai ragione tu ;) tipo il tuo esempio, ma infiniti altri! Considera esempio scemo: da $(0,0,k)$ puoi vincere per ogni $k$ intero :D

la discussione la sposta un mod appena passa
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Rispondi